Тема: Изображение геометрических тел

В качестве вспомогательных поверхностей могут быть приняты: плоскости уровня, проецирующие плоскости, плоскости общего положения.

Пример 1.Построить линию пересечения сферы и цилиндрической поверхности вращения.

Решение. Изучая расположение данных поверхностей, следует отметить, что диаметр цилиндра равен радиусу сферы; одна из образующих цилиндрической поверхности проходит через центр сферы. Горизонтальная плоскость проекций расположена перпендикулярно к образующим цилиндрической поверхности, а фронтальная плоскость проекций так, чтобы изображения данных поверхностей составляли симметричную фигуру. Цилиндрическая поверхность вращения проецируется на плоскость p₂ в виде окружности. В этом смысле ее можно назвать проецирующей поверхностью. Фронтальная проекция этой поверхности представляет собой прямоугольник. Сфера изображается на обеих плоскостях проекций одинаковыми кругами, радиусы которых равны радиусу сферы.

Построение линии пересечения начинаем с определения опорных точек. Фронтальная плоскость, которая имеет общую точку со сферой и общую образующую с поверхностью цилиндра, определяет узловую точку А линии пересечения k данных поверхностей a (сфера) и b (цилиндрическая поверхность вращения). Через центр сферы проведем фронтальную плоскость, которая пересекает сферу по окружности () и цилиндрическую поверхность – по прямой (). Окружность и прямая пересекаются в точках В и С, которые являются соответственно наивысшей и наинизшей точками линии пересечения.

Через ось цилиндра проводим фронтальную плоскость, которая пересекает сферу по окружности () и цилиндрическую поверхность – по двум параллельным между собой прямыми и, которые пересекаются в четырех точках D, Е, f и G. Последние четыре точки являются для фронтальной проекции линии пересечения точками видимости.

Теперь можно приступить к построению промежуточных точек линии пересечения. На рис. 28 проведена плоскость, которая определила еще четыре точки Н, К, L и М линии пересечения. Повторяя такие построения несколько раз, можно найти сколько угодно точек, принадлежащих искомой линии пересечения. Через одноименные проекции найденных точек проводят соответствующую проекцию линии пересечения. Сфера и цилиндр вращения являются поверхностями второго порядка. Поэтому линия пересечения k является кривой четвертого порядка и ее называют кривой Вивиани. На горизонтальную проекцию эта кривая проецируется в окружность k₂, а на фронтальную проекцию – в кривую, напоминающую восьмерку (рис. 28).

При решении этого примера в качестве вспомогательных поверхностей выступали плоскости уровня. Иногда приходится воспользоваться способом проецирующих плоскостей.

Для построения пересечения двух конических поверхностей в качестве вспомогательных поверхностей удобно применять плоскости общего положения, проходящие через прямую, соединяющую вершины данных конических поверхностей (так называемый способ вращающейся плоскости).

Способ вспомогательных сфер

Вспомогательные сферы приходится проводить из одного и того же центра при решении одной задачи и из различных центров при решении другой задачи. Поэтому различают способы концентрических и эксцентрических сфер.

Способ концентрических сфер. Применение этого способа основано на следующем положении: две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям.

Пусть мы имеем две поверхности вращения a и b, оси которых совпадают. Такие поверхности вращения с общей осью называются соосными. Поверхность a образуется вращением главного меридиана m (m₁), а поверхность b – главного меридиана n (n₁) вокруг общей для обеих поверхностей оси i. Общие точки А (А₁), В (В₁) и С (С₁) меридианов будут описывать окружности, общие для обеих поверхностей a (i, m) и b (i, n), которые проецируются на плоскость p₁ в виде горизонтальных отрезков. Таким образом, соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, причем число этих окружностей равно числу точек пересечения главных меридианов. Если центр сферы находится на оси какой-нибудь поверхности вращения, то сфера соосна с этой поверхностью.

Понятие о развертывании поверхностей

Поверхность рассматривается как очень тонкая и гибкая, но не растяжимая и не сжимаемая пленка. Тогда некоторые из поверхностей могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок путем постепенного их изгибания. Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная путем ее изгибания и совмещения с плоскостью. Поверхности, которые могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок, называются развертывающимися поверхностями. К ним относятся цилиндрические, конические и торсовые поверхности. Все остальные поверхности являются не развертывающимися.

Между поверхностью j и ее разверткой j₀ (рис. 29) устанавливается взаимно однозначное соответствие, которое обладает следующими тремя свойствами: 1) длина отрезка АВ линии а поверхности j и длина соответствующего отрезка А₀В₀ линии а₀ развертки j₀ этой поверхности равны (ïïïï); 2)если линии b и с поверхности j образуют между собой угол a°, то соответствующие им линии b₀ и с₀ образуют между собой угол a₀°, равный a° (a°a₀°); 3) пусть замкнутая линия m поверхности j и соответствующая замкнутая линия m₀ развертки j₀; тогда площади s и s₀, ограниченные линиями m и m₀, равны (ss₀).

Методы построения разверток поверхностей

Наиболее распространенными на практике способами построения разверток поверхностей являются следующие два способа: способ треугольников и способ нормального сечения. Сущность указанных способов можно выяснить на примерах построения разверток многогранных поверхностей. Развертка многогранника состоит из натуральных величин его граней, пристроенных друг к другу. Расположение граней на развертке многогранника должно быть оптимальное с точки зрения лучшего использования площади листа.

Способ треугольников покажем на примере построения развертки боковой поверхности пирамиды SАВС (рис. 30). Боковые грани пирамиды являются треугольниками. Поэтому для получения развертки боковой поверхности пирамиды нужно строить треугольники, которые равны натуральным величинам соответствующих боковых граней. Сначала определяют истинные величины ребер пирамиды. Основание АВС пирамиды расположено в горизонтальной плоскости. Следовательно, ï АВ ïï А₂В₂ ï; ï ВС ïï В₂С₂ ï; ï АС ïï А₂С₂ ï. Истинные величины боковых ребер определены вращением вокруг горизонтально проецирующей прямой, проходящей через точку s. ï Аs ïï S₁ ï; ï Вs ïï S₁ ï; ï Сs ïï S₁ ï. После этого строится треугольник, равный натуральной величине одной из граней пирамиды, например, D А₀В₀s₀. К этому треугольнику пристраивается D В₀С₀s₀, а затем – D С₀А₀s₀. Полученный пятиугольник А₀В₀С₀А₀s₀ является разверткой боковой поверхности пирамиды. При этом построение развертки сводилось к последовательному построению треугольников. Поэтому этот прием называется способом треугольников. Для применения способа треугольников поверхность заменяется многогранной поверхностью с гранями в виде треугольников. Число граней заменяющего многогранника и их расположение должны быть такими, чтобы погрешность такого перехода была бы по возможности наименьшей.

Способ нормального сечения покажем на примере построения развертки боковой поверхности

призмы АВСDEF (рис. 14.3). Боковые ребра [ АD ], [ ВЕ ] и [ СF ] призмы расположены горизонтально. ï АD ïï А₂D₂ ï, ï ВЕ ïï В₂Е₂ ï и ï СF ïï С₂F₂ ï. Если боковые ребра призмы занимают общие положения относительно плоскостей p₁ и p₂, то следует предварительным преобразованием чертежа сделать их линиями уровня. Проведем нормальную (перпендикулярную) к боковым ребрам призмы плоскость a. В данном случае она является горизонтально проецирующей плоскостью и пересекает призму по треугольнику 123 (a (АD) 1; a (BE) 2; a (CF) 3). Находим истинную величину этого треугольника (нормального сечения) 123,например, способом плоскопараллельного перемещения: D 123 D. Проводим произвольную прямую, на которой отложим отрезки 1₀2₀, 2₀3₀ и 3₀1₀, равные отрезкам, и. Через точки 1₀, 2₀, 3₀ и 1₀ проводим перпендикулярные к ней прямые. На этих прямых определяются точки А₀, В₀, С₀, D₀, Е₀ и F₀ из условия, что ï А₀1₀ ïï А₂1₂ ï, ï В₀2₀ ïï В₂2₂ ï, ï С₀3₀ ïï С₂3₂ ï, ï D₀1₀ ïï D₂1₂ ï, ï Е₀2₀ ïï Е₂2₂ ï, ï F₀3₀ ïï F₂3₂ ï. Если полученные точки А₀, В₀, С₀ и А₀ соединим ломаной, а затем точки D₀, Е₀, F₀ и D₀ – также ломаной, то получим развертку боковой поверхности призмы. Этот прием называется способом нормального сечения. Развертку цилиндрической поверхности удобно выполнить способом нормального сечения. Для этого криволинейная направляющая цилиндрической поверхности заменяется ломаной. Тогда цилиндрическая поверхность переходит в призматическую поверхность. Число и ширина граней призматической поверхности, заменяющей цилиндрическую, должны быть таковы, чтобы погрешность такого перехода была бы по возможности наименьшей.

Основная литература: 1.7.1(168…174), 1.7.1 (154….160)

Дополнительная литература: 1.7.17(286….299), 1.7.10 (190…202), 1.7.11(227…233).

Контрольные вопросы.

1.Что называется разверткой поверхности?

2.Какие поверхности относятся к развертываемым?

3.Назовите способы построения разверток и сформулируйте содержание каждого из них.

4.В каких случаях для построения развертки используются способы: нормального сечения, раскатки, треугольников?

5.В чем состоит общий прием решения задачи на построение приближенной развертки неразвертываемых поверхностей?

6.В каких случаях можно применять способ:

а) концентрических сфер;

б) эксцентрических сфер

Дата добавления: 2014-11-20