Тема: Некоторые способы преобразования чертежа

ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Основными позиционными задачами называются задачи, в которых определяются взаимное расположение точек, прямых и плоскостей. Существует всего 6 основных позиционных задач: взаимное расположение точек; взаимное расположение точки и прямой; взаимное расположение прямых; взаимное расположение точки и плоскости; взаимное расположение прямой и плоскости; взаимное расположение плоскостей. Различают позиционные задачи на принадлежность, параллельность и пересечение.

5.2.Построение точки пересечения прямой и плоскости

В начале рассмотрим взаимное расположение прямой и проецирующей плоскости. Здесь возможны три случая: вырожденная в прямую проекция плоскости и соответствующая проекция прямой могут совпадать, располагаться или пересекаться. В зависимости от этого прямая принадлежит плоскости, располагается ей параллельно или они пересекаются. На рис. 6.2 изображены фронтально проецирующая плоскость и три прямые , и . , поэтому прямая . ; .

Найти точку пересечения прямой и плоскости – это означает, что нужно определить такую точку, принадлежащую данной прямой, и проекции которой будут находиться в соответствии, установленном данной плоскостью.

Пусть требуется построить проекции точки пересечения прямой и плоскости (рис. 17).

Рисунок 17

Отнесем прямую полю фронтальной проекции плоскости и обозначим через . Определим

Рисунок 18

прямую , родственную прямую в соответствии, установленном плоскостью . Таким образом, задача сводится к определению взаимного расположения прямых и . Если = , то ; || , то . На нашем примере . С помощью линии связи, проведенной через точку , определена точка . Точка является искомой точкой

пересечения прямой и плоскости : . Невидимые на эпюре части прямой проведены штриховой линией. Для установления видимости на фронтальной проекции использованы фронтально конкурирующие точки 1 и 3, с на горизонтальной проекции – горизонтально конкурирующие точки 4 и 5.

Аналогично определяется точка пересечения прямой и плоскости , заданной своими следами (рис. 18). Прямой , отнесенной фронтальной проекции плоскости , соответствует прямая ; прямая проходит через точки и . Точка пересечения прямых и будет искомой точкой: ; ; ; . Часть прямой , которая начинается из точки и расположена ниже плоскости , будет невидимой.

Линия пересечения двух плоскостей

На рис. 19 изображены две плоскости и , первая из которых задана параллельными прямыми и , а вторая – пересекающимися прямыми и . Требуется установить взаимное расположение этих плоскостей и .

Здесь мы имеем два родственных соответствия, порождаемые соответственно плоскостями и . Нам надо определить общую прямую этих двух родственных соответствий. Проведем произвольную прямую и отнесем ее плоскости . Тогда ей соответствует прямая в родстве, определяемым первой плоскостью. Затем отнесем прямую второй плоскости и обозначим . Находим соответствующую ей прямую в родстве, установленном второй плоскостью. Рассмотрим взаимное расположение двух прямых и . Возможны три случая:

1) = ; тогда плоскости и совпадают ( = );

2) Ç = ; тогда точка К принадлежит линии пересечения плоскостей: ;

3) || .

В первом случае задача уже решена. Если имеет место второй или третий случай, следует повторить построение, изменив

положение прямой на . В случае, когда необходимо выполнить условие не параллельна . Находим прямую плоскости , и прямую , относя прямую

Рисунок 20

Рисунок 19

плоскости . Теперь возможны два случая: 1) прямые и параллельны, тогда ; 2) прямые и пересекаются в точке . Точка принадлежит линии пересечения плоскостей: . Во втором случае данные плоскости пересекаются по прямой , которая проводится через точки и или через точку параллельно прямым и (если ).

Пример 3. Построить линию пересечения плоскостей и , заданных своими следами (рис.20).

Решение. Точка пересечения фронтальных следов плоскостей и точка пересечения горизонтальных следов плоскостей являются общими точками заданных плоскостей.

; .

Поэтому прямая , соединяющая точки и , является искомой линией пересечения: . Этот результат является частным случаем выше приведенной общей схемы. Здесь за принимается ось ; тогда и . За принимается также ось , в результате этого и .

Метрические задачи. Преобразование чертежей

Перпендикулярность прямых

Теорема о прямоугольной проекции прямого угла имеет ряд важных следствий.

Следствие 1. Если из двух взаимно перпендикулярных прямых одна является фронталью, то их фронтальные проекции будут взаимно перпендикулярными. Наоборот, если из двух прямых одна является фронталью и их фронтальные проекции взаимно перпендикулярны, то они в пространстве также взаимно перпендикулярны.

Следствие 2. Если из двух взаимно перпендикулярных прямых одна является горизонталью, то их горизонтальные проекции располагаются под прямым углом. Наоборот, если из двух прямых одна является горизонталью и их горизонтальные проекции расположены под прямым углом, то они в пространстве также взаимно перпендикулярны. На рис. 5.2 представлены две пары взаимно перпендикулярных прямых - пересекаются и - скрещиваются.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Рисунок 21 Рисунок 22

Теорема. Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы фронтальная проекция прямой была перпендикулярна фронтальной проекции фронтали, а горизонтальная проекция – горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что прямая перпендикулярна плоскости . Тогда прямая перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе фронталям и горизонталям плоскости . Согласно следствию 1 фронтальная проекция прямой должна быть перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости . Согласно следствию 2 горизонтальная проекция прямой должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости . Отсюда следует, что если , то и .

Рисунок 23 Рисунок 24

Достаточность. Предположим, что фронтальная проекция фронтали плоскости перпендикулярна фронтальной проекции прямой и горизонтальная проекция горизонтали плоскости перпендикулярна горизонтальной проекции прямой . Тогда согласно следствию 1 прямые и взаимно перпендикулярны и согласно следствию 2 прямые и также взаимно перпендикулярны. Таким образом, выходит, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и плоскости . Следовательно, прямая перпендикулярна и самой плоскости . Теорема доказана.

Перпендикулярность плоскостей

Плоскость перпендикулярна плоскости , если она проходит через прямую ,

перпендикулярную плоскости , или она перпендикулярна прямой , лежащей в плоскости : или .

Через точку можно провести множество плоскостей ,перпендикулярных плоскости . Все эти плоскости проходят через перпендикуляр , опущенный из точки на плоскость .

Построение новых проекций геометрических фигур по данным их проекциям называют преобразованием чертежа. Различают два подхода: изменение положения геометрических фигур относительно неподвижных плоскостей p₁ и p₂; введение дополнительной плоскости проекций при неподвижных геометрических фигурах. В первом подходе в зависимости от вида движения различают: способ плоскопараллельного перемещения, способ вращения вокруг проецирующей прямой и способ вращения вокруг прямой уровня. Во втором подходе наиболее важными являются способы замены плоскостей проекций и вспомогательного проецирования.

Способ плоскопараллельного перемещения

Плоскопараллельным перемещением фигуры называется такое ее движение, при котором все точки фигуры перемещаются в плоскостях, параллельных между собой. Рассматриваются перемещения, параллельные плоскости p₁ или p₂. Траектория движения не имеет значения, важно знать конечное положение. Как построить проекцию фигуры в конечном ее положении после некоторого плоскопараллельного перемещения? Для этого необходимо установить инварианты преобразования. Инвариантами преобразования называются такие правила, позволяющие по данным проекциям найти новую интересующую нас проекцию фигуры (инварианты – свойства, которые остаются без изменения).

Для определения инвариантов плоскопараллельного перемещения относительно горизонтальной плоскости проекций рассмотрим отрезок АВ в системе взаимно перпендикулярных плоскостей p₁ и p₂ (рис. 25,а). Точка А перемещается в горизонтальной плоскости a, а точка В – в плоскости b (a ïï b ïï p₂). Пусть после некоторого движения отрезок АВ занимает новое положение [], где Î a и Î b. [ А₁В₁ ] и [ А₂В₂ ] –фронтальная и горизонтальная проекции отрезка АВ, [] и [] – фронтальная и горизонтальная проекции отрезка АВ после его перемещения до положения []. (АА₂) bА ° и () b °. АА ° В и ° В – конгруэнтные прямоугольные треугольники, так как ï АВ ïïï и ï АА °ïï°ïï ab ï. Поэтому ï А ° В ïï°ï. Из чертежа видно, что ï А₂В₂ ïï А ° В ï и ïïï°ï.

Для получения эпюр плоскость p₂ вращением вокруг оси (Ох) совмещается с плоскостью p₁ (рис. 25,б). Теперь сформулируем инварианты плоскопараллельного перемещения относительно p₂:

1) горизонтальная проекция фигуры перемещается по плоскости чертежа, оставаясь равной самой себе (ï А₂В₂ ïïï);

2) фронтальные проекции точек фигуры перемещаются по горизонтальным прямым, параллельным оси проекций ((А₁)ïï(В₁)ïï(Ох).

Зная инварианты и проекции фигуры в первоначальном положении можно построить ее проекцию в интересующем нас положении: сначала вычерчиваем новую горизонтальную проекцию фигуры без изменения, располагая ее в любом удобном месте; затем определяем новую фронтальную проекцию фигуры по линиям связи, учитывая второй инвариант.

Инварианты плоскопараллельного перемещения относительно p₁:

1) фронтальная проекция фигуры перемещается по плоскости чертежа, оставаясь равной самой себе;

2) горизонтальные проекции точек фигуры перемещаются по горизонтальным прямым, параллельным оси (Ох).

Если недостаточно одного плоскопараллельного перемещения, то можно воспользоваться несколькими плоскопараллельными перемещениями, выполняя их последовательно.

Способ вращения вокруг проецирующей прямой

Этот способ является частным случаем предыдущего. При вращении фигуры вокруг прямой i, называемой осью вращения, все точки этой фигуры описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных к оси i. Центры этих окружностей определяются как точки пересечения соответствующих плоскостей и прямой i. Если ось i расположена перпендикулярно к p₁ или p₂, то плоскости окружностей, описываемых точками фигуры, будут параллельными p₁ или p₂. Поэтому указанные окружности проецируются на соответствующую плоскость проекций в окружности с сохранением натуральных величин.

Инварианты способа вращения вокруг проецирующей прямой:

1) проекции точек фигуры, на плоскость к которой перпендикулярна ось вращения, описывают концентрические окружности с центрами вырожденной в точку проекции оси вращения; при этом величина и форма этой проекции не изменяется;

2) другие проекции точек фигуры перемещаются по прямым, параллельным оси (Ох).

Пример. Построить натуральную величину угла между плоскостями a (АВС) и b (АВD) (рис.26).

Решение. Плоскости a и b образуют двугранный угол с ребром (АВ). Двугранный угол измеряется линейным углом, получаемым в пересечении его с плоскостью перпендикулярной к ребру. Поэтому следует решить сначала первую, а затем вторую задачу для ребра (АВ). После решения первой основной задачи (АВ) станет прямой уровня(), а после решения второй основной задачи – проецирующей прямой (). На рис. 26 первая ось i вращения проходит через точку В (В Î i ^ p₁), а вторая ось j – через точку (Î j ^ p₂). g ° ab – искомый угол.

Вращение вокруг прямой уровня.

Как было отмечено выше, окружности, описываемые точками фигуры при вращении, располагаются в параллельных плоскостях, перпендикулярных к оси вращения. Если осью вращения является фронталь, то точки фигуры остаются при вращении в фронтально проецирующих плоскостях, а если осью вращения является горизонталь, то – в горизонтально проецирующих плоскостях. Этот способ на практике применяется для определения натуральной величины плоской фигур, вращая ее до уровня соответствующей плоскости проекций. Поэтому его называют еще способом совмещения. Инварианты:

1) новая и старая проекции любой точки фигуры располагаются на одной прямой, перпендикулярной оси вращения;

2) длина новой проекции любого отрезка фигуры будет равна натуральной длине этого отрезка.

Строят только одну проекцию фигуры на ту плоскость проекций, на которую параллельна ось вращения. Между новой и старой проекциями фигуры устанавливается родство.

Вспомогательное проецирование

Построение новых проекций можно осуществить вспомогательным центральным параллельным проецированием заранее выбранную плоскость проекций. Плоскость проекций и центр или направление проецирования выбирают в зависимости от условий поставленной задачи.

Пример 2. Построить проекции точек пересечения прямой l(l ₁,l ₂) с поверхностью пирамиды SABCD.

Решение. Отметим произвольные точки 1 Îl и 2 Îl, а затем спроецируем из точки s на горизонтальную плоскость проекций пирамиду и прямую l. Пирамида проецируется в четырехугольник А₂В₂С₂D₂, а прямая l – в прямую 3₂4₂. Четырехугольник А₂В₂С₂D₂ и прямая 3₂4₂ пересекаются в двух точках 5₂ и 6₂. Последние две точки из центра s₂ проецируются на прямую l ₂ в точки К₂ и L₂, которые являются горизонтальными проекциями искомых точек пересечения К и L. Проведя через точки К₂ и L₂ линии связи, определяют проекции К₁ Îl ₁, L₁ Îl ₁ этих точек.

Основная литература: 1.7.1(38…..56, 62…102)

Дополнительная литература: 1.7.17 (30…40, 49…62), 1.7.10 (116…189),

1.7.11(62…80).

Контрольные вопросы.

1. Что такое «первая позиционная задача начертательной геометрии»? Что такое вторая?

2. Каким методом определяют видимость элементов фигур на эпюре?

3. Сформулируйте условие параллельности и условие перпендикулярности двух плоскостей.

4. Какие вы знаете свойства плоских углов? Теорема о прямом угле, что это такое?

5. Какие параметры определяют «методом прямоугольного треугольника»?

7. Определите расстояние от точки до прямой и плоскости общего положения.

8. В чем разница между методом плоскопараллельного переноса и методом вращения вокруг проецирующей прямой?

9. Как определяются натуральные величины плоских фигур методом замены плоскостей проекции и методом вращения вокруг линии уровня?

10. В чем особенность метода совмещения?

Дата добавления: 2014-11-20