Примеры применения теорем А.М. Ляпунова

Теоремы А.М. Ляпунова

Основные понятия второго метода Ляпунова А.М. Функции Ляпунова А.М. (понятие о знакопостоянстве и знакоопределенности функций).

Исследование устойчивости по линейному приближению.

В учебном пособии по линейной теории автоматиче­ского управления и регулирования [23] уже давалось общее понятие устойчивости динамической системы по Ляпунову. Напомним вкратце ход наших рассуждений. Запишем уравнения динамики системы п- го порядка при отсутствии возмущающих воздействий в общем нелинейном виде в нормальной форме Коши:

Устойчивость рассматривается как свойство свободного движения системы после начального отклонения ее, вызванного любыми причинами. Пусть (t) обозначает не­который установившийся процесс работы системы, или, как говорят, невозмущенное движение. Отклонение возмущенного движения yi(t), определяемого уравнениями (5.1) при определенных начальных условиях yi(t0), обозначим через х i (t), т. е.

Тогда можно написать уравнения возмущенного движения в отклонениях в виде

при этом невозмущенным движением будет х i= 0. Переменные х i (i = 1, 2, …n) являются координатами состояния системы.

В общем случае конкретный вид уравнений (5.3) зависит от вида установившегося процесса (t), так как эти уравнения получаются из (5.1) подстановкой (5.2).

Поэтому, исследуя эти уравнения необходимо, вообще говоря, оговаривать, об устойчивости какого установившегося режима или невозмущенного движения (t) идет речь.

Геометрически невозмущенное (установившееся) дви­жение (t) системы n-го порядка можно представить

Рис. 5.1.

Рис. 5.2.

условно в виде некоторой интегральной кривой в n-мер­ном пространстве с добавленной осью времени t(рис. 5.1). Возмущенное движение yi(t), вызванное на­чальным отклонением при t = to, изобразится другой ин­тегральной кривой (рис. 5.1).

В отклонениях х i(t), т. е. в пространстве координат состояния системы, эта картина возмущенного движения будет выглядеть, как показано на рис. 5.2. При этом не­возмущенное движение = 0 изобразится прямой ли­нией, совпадающей с осью t.

Невозмущенное движение системы = 0 называется устойчивым, если, задав «трубку» сколь угодно малого n-мерного сечения e (рис. 5.2), можно подобрать в на­чальный момент to такую область начальных условий d, зависящую от e, что с увеличением t возмущенное движение х i(t), не выйдет из заданной трубки e.

Аналитическое определение понятия устойчивости по Ляпунову, формулируется следующим образом.

Невозмущённое движение системы =0 называется устойчивым, если при заданном e > 0 сколь бы оно мало ни было, существует такое d > 0, зависящее от e, что при начальных условиях

½ хi (t0)½ < d, i=1, 2,.., п, (5.4)

и дальнейшем движении (t0 < t < ¥) выполняется ус­ловие

½ хi (t)½ < e, i = 1, 2,.., п. (5.5)

Заметим, что в этом аналитическом определении об­ласти e и d, в отличие от рис. 5.2, выглядят «прямоуголь­ными» (в n-мерном пространстве), что не имеет прин­ципиального значения.

Невозмущенное движение = 0 будет неустойчивым, если указанное условие не выполняется хотя бы для од­ного из х i.

Если условия указанного выше определения выполне­ны и имеем х i(t)à0при t à¥, то невозмущенное дви­жение х i = 0 называется асимптотически устойчивым. Если же х i(t)à0 при t ॠпосле любых начальных отклонений, то система называется устойчивой в целом.

Существует еще понятие абсолютной устойчивости, означающее асимптотическую устойчивость системы в целом при любом характере нелинейности внутри опре­деленного класса нелинейностей.

В общем случае в нелинейных системах, в отличие от линейных, устойчивость состояния равновесия не оз­начает, что будут устойчивы и все процессы в системе, так как свойства нелинейной системы меняются с изме­нением величин отклонений координат состояния. Наглядным примером может служить наличие в системе второго порядка неустойчивого предельного цикла (лекция 4). В этом случае при устойчивом состоянии рав­новесия система оказывается неустойчивой при больших начальных отклонениях (выходящих за границу пре­дельного цикла), т. е. система _ устойчива «в малом» и неустойчива «в большом».

При определении понятия устойчивости рассматрива­лись интегральные кривые (рис. 5.1 и 5.2). Если же представить себе не интегральную,

Рис.5.3.

а фазовую траекторию в n-мерном пространстве для системы уравнений (5.3), то в устойчивой системе, согласно определению она будет иметь вид, изображен­ный на рис. 5.3.

В последующих лекциях нам придется иметь дело с непрерыв­ными функциями коор­динат состояния систе­мы V(х 1, х 2, …, х n) обладающими свойст­вом V = 0 при х 1= х 2=…= х n=0. Такая функ­ция V называется знакоопределенной функцией, если во всей рассматриваемой области, содержащей начало ко­ординат, она сохраняет один и тот же знак и обращает­ся в нуль только в начало координат. Например, при n=3

Знакоопределённая функция может быть положитель­но определенной или отрицательно определенной. Если же функция V сохраняет один и тот же знак, но обра­щается в нуль не только в начале координат, то такая Функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной). Например, при п = 3 функция

обращается в нуль на прямой х 2=- х 1 и х 3=0-

Наконец, функция V называется знакопеременной, если она в рассматриваемой области не сохраняет одного и того же знака. Например,

Согласно известному критерию Сильвестра любая квадратичная форма п координат будет знакоопределенной (положительной) тогда и только тогда, когда все главные диагональные миноры матрицы ее коэффициен­тов будут положительными. Например, квадратичная форма

будет положительно определенной, так как для матрицы ее коэффициентов

имеем

и, наконец,

Описанные функции V от координат состояния си­стемы, обращающиеся в нуль в начале координат игра­ют важную роль в теоремах Ляпунова об устойчивости и неустойчивости нелинейных систем и называются функциями Ляпунова.

Пусть имеется нелинейная система, описываемая уравнениями динамики

Составим производную функции Ляпунова по времени

Используя (5.6), в силу уравнений системы, можно записать

Очевидно,что в результате получается тоже некото­рая функция координат состояния системы

Известно далее, что градиент функции V есть вектор, определяемый проекциями dV/d х i на оси координат, т. е.

Можно ввести вектор Ф(х) с проекциями, отвечающими уравнениям (5.6), а именно:

Вектор Ф(х) будет вектором скорости изображающей точки М в фазовом пространстве (рис. 5.4).

Рис. 5.4.

Согласно (5.7) получаем

где х— вектор координат состояния системы х = (х 1, х 2,…, х n). Итак, производная функции Ляпу­нова по времени, составленная в силу уравнений систе­мы, представляет собой скалярное произведение гради­ента этой функции на вектор фазовой скорости.

Вектор grad V(x) перпендикулярен к поверхности V == const и направлен в сторону возрастания значений V (рис. 5.4). Если производная dV/dt>0, то, согласно (5.9), вектор фазовой скорости Ф (х) составляет с век­тором grad V (x) острый угол, т. е. фазовая траектории пересекает поверхность V = const в сторону увеличения значений V(x). Если же dV/dt < 0, угол между grad V и Ф (х) тупой, и фазовая траектория идет в сторону уменьшения значений V(х).

Дата добавления: 2014-11-20