Практическое построение годографа Михайлова

Для примера рассмотрим систему 4^ой степени:

.

Чтобы найти точки пересечения годографа с осями координат, необходимо приравнять нулю вещественную и мнимую части и найти частоты, при которых они равны нулю.

Построение годографа ведется в следующем порядке:

1. В характеристическом уравнении замкнутой системы производим замену на :

.

2. Из уравнения выделяем вещественную и мнимую части:

- уравнение вещественной части - ;

- уравнение мнимой части - .

3. Приравняем нулю мнимую часть и находим частоты, при которых годограф пересекается с вещественной осью (точки 1 и 3):

4. Полученные значения частоты подставим в уравнение вещественной части, получаем точки 1 и 3:

5. Приравняем нулю уравнение вещественной части, получаем частоты, при которых годограф пересекается с мнимой осью:

Введем новую переменную и получим квадратное уравнение:

Решим квадратное уравнение:

Найдем и (только положительные значения):

.

6. Полученные значения частоты подставим в уравнение мнимой части и находим точки 2 и 4:

.

7. Задаются промежуточными частотами и частотой , для которых находят значения вещественной и мнимой части:

8. Все расчеты сводятся в таблицу:

		0.23	0.46	0.68	0.89	1.2	1.51	1.6
		0.74		-0.88	-1.71	-2.1		1,31
		0.86	1.35	1.15		-3.84	-11.17	-14,08

9. По данным таблицы строится годограф (рисунок 1).

10. Вывод: Система устойчива, т.к. вектор годографа Михайлова начинает свое движение с положительной вещественной полуоси, вращается против часовой стрелки, нигде не обращается в ноль и обходит последовательно 4 квадранта комплексной плоскости.

Дата добавления: 2014-12-08