Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод наименьших квадратов




Рассмотрим опыт по определе­нию модуля растяжения метал­лического стержня. Результаты измерений удлинения стержня под нагрузкой могут быть представлены в виде таблицы.

Нагрузка Xl X2 Хn
Удлинение Y1| Y2 Yn

Согласно закону Гука зависимость удлинения от нагрузки имеет вид

y=kx (13).

Неизбежные ошибки опыта приводят, однако, к тому, что точки (хi, уi) не лежат на одной прямой. Значение к может быть найдено из любой пары значений (хi, уi) а наличие n пар приводит к появлению n, вообще говоря, несовместных уравнений для нахождения k.

Задачу о выборе наилучшего значения можно решать графически, отмечая точки на миллиметровой бумаге и проводя через них на глаз наилучшую прямую. Графический способ решения не всегда, однако, обеспечивает достаточную точность. Аналитическое решение задачи производится с помощью метода наименьших квадратов. Сущность метода такова. Рассмотрим отклонение точек (хi, уi) от прямой (13) и составим величину j – сумму квадратов вертикальных отклонений наших точек от прямой:

(14).

Величина j всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат наши точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое его значение, при котором j имеет минимум.

Дифференцируя j, найдем:

или

(15)

Вычисление показывает, что стандартная ошибка s(k) определения величины k равна при этом

(16)

Мы рассмотрели сейчас наиболее простой случай применения метода наименьших квадратов. Рассмотрим теперь несколько более трудный случай, когда точки должны удов­летворять не формуле (13), а несколько более сложной формуле

у=а+b×х (17)

Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений (хi,yi) найти наилучшие значения а и b.

Снова составим квадратичную форму, равную сумме квадратов отклонений точек от закона(17),

и найдем значения а и b, при которых имеет минимум j:

Совместное решение этих уравнений дает

(18).

Формулы (18) принимают более простой вид, если ввести :

(19).

Подстановка (19) в (18) дает

(20)

Стандартные ошибки определения a и b равны:

(21).

Формулы (15) и (20) дают аналитический способ проведения прямой через заданные экспериментальные точки.

Критерии значимости. Метод c2

Вернемся к опыту по исследованию упругих свойств металлического стержня. Пусть ре­зультаты опытов изображаются точками на рис.3. Первый же взгляд на график убеждает нас в том, что зависимость удлинения от нагрузки является линейной или почти линейной. На самом деле, прямая, проведенная на рис.3 сплошной линией, не противоречит эксперимен­тальным данным. Им не противоречит, однако, и изогнутая линия. Более того, эта линия даже несколько лучше удовле­творяет экспериментальным данным, чем пря­мая. Мы хотели бы, однако, думать, что истин­ная связь удлинения и на­грузки все-таки являет­ся прямолинейной. Задача сводится к отыска­нию критерия, позволяющего судить о том, яв­ляется ли представление иско­мой зависимости в виде прямой ли­нии достаточно хорошим или экспериментальные данные заставляют отдать предпочтение криволинейной зависимости.

Сформулированная сейчас задача в применении к закону Гука представляется несколько искусственной. В этом случае лучше всего попросту повторить опыт, уменьшив экспери­ментальные ошибки, и вопрос решится сам собой. Встречаются, однако, случаи, когда та­кое повторение опыта является затруднительным или даже невозможным. Так бывает, на­пример, при опытах с редкими частицами в космических лучах или на ускорителях, когда повторение опыта требует нескольких лет работы или попросту оказывается невозможным. Возможно более полная интерпретация имеющихся данных становится в этом случае особенно существенной.

Общий вопрос, который возникает в таких случаях, сводится обычно к следующему. На графике, изображающем некоторую зависимость, точки легли не вполне регулярно. Следует ли предавать значение наблюденным отступлениям от гладкой кривой? Совместима ли с экспериментальными данными гипотеза о том, что искомая зависимость на самом деле является гладкой (или даже прямолинейной) или эти данные указывают на негладкий ход кривой? Исследование проблемы достоверности гипотез производится обычно с помощью критериев значимости. Одним из наиболее удобных критериев значимости является так называемый «критерий c2».

В предыдущем разделе мы рассматривали метод наименьших квадратов, с помощью которого можно, например, провести через экспериментальные точки наилучшую прямую. Исследуем теперь вопрос о том, насколько данные, использованные для проведения этой прямой, согласуются с представлением о том, что рассматриваемая прямолинейная зави­симость действительно имеет место. Единственной мерой, которая может быть использова­на для расчета, является естественно, точность, с которой экспериментальные точки удов­летворяют предполагаемому закону. В методе c2 в качестве такой меры принимается сумма квадратов отклонений от предполагаемой зависимости

(22).

Отклонения экспериментальных точек от значений, следующих из принятой гипотезы, выражаются в долях стандартной ошибки данного измерения s(xi). Найденное значение c2 должно быть сопоставлено с теорией. Это делается с помощью таблицы. В таблице для разного числа n степеней свободы приведены значения c2 для ряда чисел p. Числом степеней свободы n в этом случае называется число измерений без одного, если гипотеза не содержит определяемых из опыта коэффициентов, число измерений без двух, если из опыта находится один коэффициент, например, наклон прямой и т.д. Для 10 степеней свободы находим из таблицы, что c2 =2,6 для р=99, c2=3,9 для р =95, c2=7,3 для р=70, c2 =23,2 для р=1 и т.д. Это означает, что в том случае, если гипотеза справедлива, рассчитанное по (22) значение c2 с вероятностью 99% (р=99) окажется больше 2,6, с вероятностью 95% (р=95) больше 3,9, с вероятностью 70% больше 7,3, с вероятностью 1% больше 23,2 и т.д. Пусть мы найдем в результате расчета по формуле (22) c2=3,5. Такое значение c2 должно наблюдаться больше чем в 95% случаев; отклонение наших данных от прямолинейной зависимости является в этом случае совершенно несущественным. Если бы мы нашли в результате расчета c2 =18, сопоставление с таблицей показало бы нам, что такие отклонения следует ожидать только в 5 % случаев. Существование прямолинейной зависимости и в этом случае нельзя считать исключенным, но оно должно быть поставлено под сомнение. Естественно в этом случае по­вто­рить опыт, чтобы получить более ясный результат. Если бы c2 оказалось равно 30 (вероятность получить на опыте такое значение равна 0,1%) можно было бы утверждать, что проверяемая гипотеза почти наверное является ошибочной.

При сравнении отклонений с таблицей обычно применяют следующую терминологию: если найденная из опыта величина c2 должна наблюдаться с вероятностью, заключенной между 1% и 5% отклонения называются почти значимыми, если вероятность заключена между 0,1 и 1% - значимыми и, наконец, если вероятность обнаружить найденное значение c2 оказывается меньше 0,1%, отклонения являются высокозначимыми. При вероятности большей 5% следует считать, что экспериментальные данные недостаточны для того, чтобы отвергнуть эту гипотезу.

На этом мы заканчиваем краткое изложение методов обработки наблюдений. Более подробные сведения могут быть найдены в специальных книгах.

 


Распределение c2

Р - вероятность (в%) найти на опыте значение c2, большее чем указано в таблице, n – число степеней свободы системы.

n \ p                             0,1  
  0.3   0,4   0.7   1,1   1,6   2,2   3,4   4.9   6.0   7,8   9.5   11,7   13,3   18.5  
  0,6   0,8   1,1   1,6   2,3   3.0   4,4   6,1   7,3   9-2   11,1   13,4   15,1   20,5  
  0,9   1,1   1,6   2 2   3,1   3,8   5,3   7 ^   8.6   10,6   12,6   15,0   16,8   22,5  
  1-2   1.6   2,2   2,8   3.8   4,7   6,3   8,4   9,8   12,0   14,1   16,6   18,5   24,3  
  1-6   2,0   2.7   3,5   4,6   5,5   7.3   9,5   11.0   13,4   15,5   18,2   20.1   26,1  
  2.1   2,5   3.3   4,2   5.4   6,4   8.3   10,7   12,2   14,7   16.9   19,7   21,7   27,9  
  2,6   3-1   3.9   4,9   6,2   7,3   9,3   11,8   13,4   16.0   18,3   21-2   23,2   29.6  
  3,1   3.6   4,6   5,6   7,0   8,1   10,3   12,9   14,6   17,3   19,7   22.6   24.7   31,3  
  3,6   4,2   5.2   6,3   7,8   9,0   11,3   14.0   15,8   18,5   21.0   24.1   26,2   32.9  
  4.1   4.8   5,9   7.0   8,6   9.9   12,3   15.1   17.0   19.8   22.4   25.5   27.7   34.5  
  4,7   5,4   6,6   7,8   9,5   10,8   13,3   16.2   18.1   21.1   23.7   26,9   29,1   36,1 1  
  5,2   6.0   7,3   8,5   10,3   11,7   14,3   17,3   19,3   22,3   25,0   28.3   30,6   37,7  
  5,8   6,6   8,0   9,3   11,1   12,6   15,3   18,4   20,5   23,5   26,3   29,6   32,0   39,2  
  6,4   7,3   8,7   10,1   12,0   13,5   16,3   19,5   21,6   24,8   27,6   31,0   33,4   40,8  
  7,0   7,9   9.4   10,9   12,9   14,4   17,3   20,6   22.8   26,0   28,9   32,3   34,8   42.3  
  7.6   8.6   10,1   11,6   13,7   15,4   18.3   21,7   23.9   27.2   30,1   33,7   36.2   43,8  
  8-3   9,2   10,8   12,4   14,6   16,3   19,3   22,8   25,0   28,4   31,4   35,0   37,6   45,3  
  8-9   9,9   11,6   13,2   15,4   17,2   20,3   23,9   26,2   29,6   32,7   36,3   38,9   46,8  
  9.5   10,6   12,3   14,0   16,3   18.1   21,3   24,9   27.3   30.8   33.9   37.7   40.3   48,3  
  10,2   11,3   13,1   14,8   17,2   19,0   22,3   26,0   28„4   32,0   35.2   39,0   41,6   49,7  
  10,9   12,0   13,8   15,7   18,1   19,9   23,3   27,1   29,6   33.2   36,4   40,3   43,0   51,2  
  11,5   12,7   14,6   16,5   18,9   20,9   24,3   28,2   30,7   34,4   j 37,7   41,6   44,3   52.6  
    13,4   15,4   17,3   19,8   21,8   25,3   29,2   31.8   35,6   38,9   42,9   45,6   54,0  
  12.9   14,1   16.1   18,1   20,7   22,7   26,3   30,3   32,9   36,7   40,1   44,1   47.0   55,5  
  13,6   14,8   16.9   18,9   21,6   23,6   27,3   31,4   34,0   37,9   41,3   45,4   48,3   56,9  
  14,3   15,6   17,7   19,8   22,5   24,6   28,3   32,5   35,1   39,1   42,6   46,7   49,6   58,3  
  15,0 16.3 18,5 20,6 23,4 25,5 29,3 33,5 36,2 40,3 43,8 48,0 50,9 59,7




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 576; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.02 сек.