Распределение Гаусса

Распределение Гаусса является предельным случаем распределения Пуассона и многих других законов распределения.

Рассмотрим распределение Пуассона при больших n и n₀. Дискретность распределения в этом случае теряет свое значение, т.к. n меняется практически непрерывно.

Будем характеризовать отклонение n от n₀ помощью e, определенного соотношением

Ограничимся рассмотрением случая, когда e áá 1.

Подставляя формулу Стирлинга

в (4), найдём

,

откуда

Вспоминая теперь, что , а (n – n₀) просто равно отклонению n от среднего значения n₀, по­лучим закон распределения Гаусса, описывающий поведение непрерывных величин,

(8)

С помощью формулы (8) нетрудно найти вероятность того, что значение х измеренной ве­личины лежит между X₁ и Х₂:

(9).

Интеграл (9) не сводится к элементарным функциям. Он выражается обычно через функ­цию Ф(х):

(10)

Как нетрудно убедиться,

(11)

Определенная формулой (10) функция Ф является функцией толь­ко х. Эта функция изо­бражена на рис. 2 для х>0. Значения Ф(х) при х<0 находятся с помощью соотношения

Ф(–х) = – Ф(х) (12).

Оценки для вероятности откло­нения на s и 2s легко получить с помощью формул (11) и (12) и графика функции Ф(х) на рис.2.

Дата добавления: 2014-11-29