Элементы теории вероятностей

Вопросы для самопроверки

1. Какое уравнение называется дифференциальным?

2. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка.

3. Дайте определение общего решения и общего интеграла дифферен­циального уравнения первого порядка.

4. Дайте определение частного решения и частного интеграла дифферен­циального уравнения первого порядка.

5. Решите дифференциальные уравнения и найдите частные решения (частные интегралы), удовлетворяющие данным условиям:

а) (ху² + х) dx - (у – х²у) dy =0; у = 1 при х = 2.

б) е^х (1+е^у) dx + е^у(1 + e^x) dy = 0; у=0 при х=0,

6. Найдите частные решения (частные интегралы) дифференциального уравнения, удовлетворяющие данным условиям:

а) у' = у³/х³; у =Ö2 при х =Ö3;

б) у' tg х = 1 +у, у = - 1/2 при х = p/6.

Ответы. 5. а) (1 + у²)(1 - х³) = С, (1 + у²)(1 - х³) = -6;

(1 + е^у)(1 - е^х) = С, (1 + е^у)(1 - е^х) = 4.

6. а) у²=6 х²/(х² +6); б) у=sin х –1.

Случайным событием называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении испытания может произойти, а может и не прои­зойти. Слово «случайное» для краткости часто опускают и говорят просто «со­бытие». Например, выстрел по цели - это опыт, случайные события в этом опы­те - попадание в цель или промах.

Событие называется достоверным, если в результате опыта оно непремен­но должно произойти, и невозможным, если оно заведомо не произойдет. Например, выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости - достоверное событие; выпадение десяти очков при бросании одной игральной кости - невозможное событие.

События называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе. Например, попадание и промах при одном выстреле - это несовместные события.

Несколько событий в данном опыте образуют полную систему событий, если в результате опыта непременно должно

произойти хотя бы одно из них. Например, при бросании игральной кости события, состоящие в выпадении од­ного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков, образуют полную систему собы­тий.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие. Например, при бросании монеты выпадение герба или числа -события одинаково возможные.

Каждое событие обладает какой-то степенью возможности. Численная мера степени объективной возможности события — это вероятность события. Вероят­ность события А обозначается Р(А).

Пусть из системы я несовместных равновозможных исходов испытания m исходов благоприятствуют событию А. Тогда вероятностью события А назы­вают отношение т числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех исходов данного испытания:

Р(А) = m/n

Эта формула носит название классического определения вероятности.

Если В - достоверное событие, то m=n и Р(В) =1; если С -невозмож­ное событие, то m = 0 и Р(С)=0; если А—случайное событие, то m<n и Р(А) < 1.

Таким образом, вероятность события заключена в следующих пределах:

0 < Р(А) < 1.

Пример 1. Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятность событий: А - появление четного числа очков; В - появление не менее пяти очков; С - появление не более пяти очков.

Решение. Опыт имеет шесть равновозможных независимых исходов (появление одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков), образующих полную систему.

Событию А благоприятствуют три исхода (выпадение двух, четырех и шес­ти очков), поэтому Р(А) = 3/6 = 1/2; событию В - два исхода (выпадение пяти и шести очков), поэтому Р(В)=2/6=1/3; событию С - пять исходов (выпадение одного, двух, трех, четырех и пяти очков), поэтому Р(С)=5/6.

При вычислении вероятности часто приходится использовать формулы комбинаторики.

Дата добавления: 2014-12-08