Обоснование метода

Проверить закон сохранения полной механической энергии можно при помощи маятника Максвелла. Он представляет собой диск, закреплённый на оси и подвешенный бифилярно на нити, способный совершать колебания в вертикальной плоскости.

Рассмотрим движение маятника подробнее. На движущийся маятник действуют консервативные силы тяжести и упругости, а также неконсервативная сила трения о воздух, которой можно пренебречь в силу её малости. В соответствии с законом сохранения, полная механиче

Рис. 1. Маятник Максвелла

ская энергия маятника во всех точках траектории должна быть одинаковой.

Для решения данной задачи удобнее всего рассматривать верхнее и нижнее положения центра тяжести маятника при его движении. Нижнее положение примем за нулевой уровень.

В верхней точке маятник будет обладать потенциальной энергией, определяемой выражением , и нулевой кинетической энергией, так как его скорость в начальный момент времени равна нулю. Таким образом, полная механическая энергия маятника в этом положении будет определяться только потенциальной энергией:

, (1)

где – масса маятника;

– ускорение свободного падения;

– расстояние от нулевого уровня до центра масс тела.

В нижней точке потенциальная энергия маятника равна нулю (), а кинетическая складывается из энергии поступательного движения центра масс (точка А) и вращательного движения относительно оси вращения, проходящей через центр масс (рис. 1).

Таким образом, полная механическая энергия в этом положении:

,

где – масса маятника;

– момент инерции маятника;

– скорость движения центра масс;

- угловая скорость маятника.

Непосредственно измерить линейную и угловую скорости не представляется возможным в данном случае, поэтому определим их через другие величины.

Центр масс маятника движется равноускоренно, поэтому его линейная скорость определяется по формуле:

,

где – ускорение, приобретаемое центром масс при движении маятника;

– время его движения;

– начальная скорость.

Ускорение центра масс можно найти, воспользовавшись формулой для определения пути при равноускоренном движении:

.

Так как маятник в верхнем положении обладает нулевой начальной скоростью, а при своём движении до нижней точки он проходит путь равный , то линейную скорость в нижней точке с учетом вышесказанного мы найдем по формуле:

. (2)

Угловая скорость связана с линейной скоростью следующим выражением:

, (3)

где – диаметр оси.

С учетом выражений (2) и (3) полная механическая энергия маятника в нижнем положении будет определяться формулой:

. (4)

Момент инерции маятника можно найти по формуле:

. (5)

Значения составляющих момента инерции определяются выражениями:

, (6)

, (7)

, (8)

где – диаметр ролика;

– внешний диаметр кольца;

, , – массы оси, ролика и кольца соответственно.

Масса маятника складывается из массы оси, ролика и кольца.

Таким образом, сравнение значений, полученных из выражений (1) и (4), позволяет сделать вывод о справедливости закона сохранения энергии.

Дата добавления: 2014-12-08