Властивості векторного добутку

Векторний добуток векторів

Означення векторного добутку. Векторним добуткомдвох неколінеарних векторів і називається вектор , такий, що:

1) і , тобто перпендикулярний векторам і ;

2) направлений так, що вектори , , утворюють праву трійку;

3) має довжину, що дорівнює добутку довжин цих векторів на синус кута між ними, тобто , де .

Якщо вектори і колінеарні, то їх векторний добуток за означенням вважається рівним нульовому вектору.

Векторний добуток позначається .

Геометричний зміст векторного добутку. Модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах (рис. 6.1 ).

1. .

Справедливість цієї властивості випливає з означення.

2. .

Доведення. Нехай . Вектор перпендикулярний векторам і (вектори і лежать в одній площині). Вектор також перпендикулярний векторам і . Отже, вектори і колінеарні. Очевидно, що їх напрямки співпадають. Вони мають однакову довжину:

і .

Тому . Аналогічно доведення при .

3. .

Приймемо без доведення.

4. Два ненульові вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх векторний добуток рівний нульовому вектору, тобто .

Доведення. Якщо , то вектор за означенням.

Якщо , то . Тоді або , тобто .

Приклад 6.8.Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах і , якщо , , , , .

Розв’язок. Використовуючи властивості векторного добутку, отримаємо

.

Тоді за означенням . t

Векторний добуток в координатній формі.Нехай в декартовій прямокутній системі координат задані вектори , або, що те ж саме, , .

Знайдемо векторний добуток цих векторів, перемноживши їх згідно властивостям 1–3:

. (6.11)

Векторні добутки , , , що входять в цю рівність, рівні нульовому вектору згідно властивості 4.

Векторний добуток є вектором, модуль якого рівний і колінеарний та однаково направлений з вектором , а отже . Аналогічно , (рис. 6.2). Згідно властивості 1 , , .

Підставивши знайдені добутки в (6.11), отримаємо

.

Цю рівність символічно можна записати у вигляді

. (6.12)

Приклад 6.9.Знайти , якщо , .

Розв’язок. Згідно (6.12) отримаємо

. t

Приклад 6.10.Знайти площу трикутника , якщо , , .

Розв’язок. Очевидно (рис. 6.2), що . Так як , , то

,

.

Отже, . t