Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Властивості векторного добутку





Доверь свою работу кандидату наук!
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Векторний добуток векторів

Означення векторного добутку. Векторним добуткомдвох неколінеарних векторів і називається вектор , такий, що:

1) і , тобто перпендикулярний векторам і ;

2) направлений так, що вектори , , утворюють праву трійку;

3) має довжину, що дорівнює добутку довжин цих векторів на синус кута між ними, тобто , де .

Якщо вектори і колінеарні, то їх векторний добуток за означенням вважається рівним нульовому вектору.

Векторний добуток позначається .

Геометричний зміст векторного добутку. Модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах (рис. 6.1 ).

1. .

Справедливість цієї властивості випливає з означення.

2. .

Доведення. Нехай . Вектор перпендикулярний векторам і (вектори і лежать в одній площині). Вектор також перпендикулярний векторам і . Отже, вектори і колінеарні. Очевидно, що їх напрямки співпадають. Вони мають однакову довжину:

і .

Тому . Аналогічно доведення при .

3. .

Приймемо без доведення.

4. Два ненульові вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх векторний добуток рівний нульовому вектору, тобто .

Доведення. Якщо , то вектор за означенням.

Якщо , то . Тоді або , тобто .

Приклад 6.8.Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах і , якщо , , , , .

Розв’язок. Використовуючи властивості векторного добутку, отримаємо

.

Тоді за означенням . t

Векторний добуток в координатній формі.Нехай в декартовій прямокутній системі координат задані вектори , або, що те ж саме, , .

Знайдемо векторний добуток цих векторів, перемноживши їх згідно властивостям 1–3:

. (6.11)

Векторні добутки , , , що входять в цю рівність, рівні нульовому вектору згідно властивості 4.

 
 

Векторний добуток є вектором, модуль якого рівний і колінеарний та однаково направлений з вектором , а отже . Аналогічно , (рис. 6.2). Згідно властивості 1 , , .

Підставивши знайдені добутки в (6.11), отримаємо



.

Цю рівність символічно можна записати у вигляді

. (6.12)

Приклад 6.9.Знайти , якщо , .

Розв’язок. Згідно (6.12) отримаємо

. t

Приклад 6.10.Знайти площу трикутника , якщо , , .

Розв’язок. Очевидно (рис. 6.2), що . Так як , , то

 
 

,

.

Отже, . t

 

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой




Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 1222; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.025 сек.