Пункты 1 и 2

В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Одноконтурная электрическая цепь (рис.3.1) разбита на три участка. Первый содержит последовательно включенные R, L или R, C элементы, второй R, L, C и третий – R либо L элемент с параллельно подключенным ключом К₂. Параметры цепи приведены в табл. 3.1. Исходное положение К₂ обозначено: разомкнутое – нулем, замкнутое – единицей.

Рис.3.1

Т Р Е Б У Е Т С Я:

Студенты заочного отделения выполняют только

1. Начертить схему для своего варианта задания и привести все заданные параметры.

2. Рассчитать классическим методом переходный ток при следующих двух коммутациях:

а) при t = 0 ключом К₁ цепь подключают на постоянное напряжение U, указанное в табл. 3.1 (начальные условия – нулевые);

б) в момент t₁ замыкается ключ К₂, если он был разомкнут, или размыкается, если был замкнут.

3. Рассчитать символическим методом установившийся гармонический ток в цепи, полученной в п.2,б, при синусоидальном напряжении, действующее значение которого U дано в табл. 3.1. Частота f и начальная фаза синусоидального напряжения приведены в табл. 3.2. Построить временную диаграмму тока i(t).

4. Рассчитать операторным методом переходный ток в цепи (считать момент коммутации t = 0) при замыкании ключа К₂, если он был предварительно разомкнут, или при размыкании К₂, если он был замкнут.

Определить начальные условия. Построить составляющие переходного тока и результирующий ток. На отдельном графике (для сравнения) начертить результирующий переходный ток и установившийся гармонический ток (п.3)

Таблица 3.1

Вар.	Участок 1	Участок 2	Участок 3
№	R1 Ом	L1 мГн	C1 мкФ	R2 Ом	L2 мГн	C2 мкФ	R3 Ом	L3 мГн	K2	U В	t1 мс
				40,45
	2,3			2,8
	4,7			5,2
	5,5			7,5
											2,5
	2,4			2,7
	2,8										17,5
	2,1			3,2
	7,3			7,7
	4,8			5,2
	4,5			5,3							2,2
	3,8			5,2							1,5
	2,7
											2,5
	4,5			5,3
	2,2			2,5
	7,1			5,1

Таблица 3.2

Вар. №	f, Гц	au, град	Вар. №	f, Гц	au, град
					-55
		-25
		-35
		-45

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

1. Схема электрической цепи для варианта № … приведена на рис.3.2 (К₂, например, в положении 1)

Вариант № … U = 45 В R1 = 5,8 Ом R2 = 10,2 Ом R3 = 144 Ом L2 = 0,098 Гн C1 = 200×10^-6 Ф C2 = 235×10^-6 Ф t1 = 0,015 с

Рис.3.2

2.а Расчет классическим методом переходного тока при замыкании ключа К₁ (ключ К₂ остается замкнутым). Электрическая схема цепи после первой коммутации показана на рис.3.3 (начальные условия нулевые).

Рис.3.3

2.1. Составляется исходное дифференциальное уравнение при обходе контура

2.2. Решение уравнения (3.2) ищем в виде суммы принужденной и свободной составляющих:

где u_{с пр} = U.

2.3. Для определения свободной составляющей u_{с св} составим однородное дифференциальное уравнение из (3.2)

или, разделив на LC,

Тогда характеристическое уравнение

Если р₁ и р₂ вещественные и разные, то свободная составляющая находится в форме

где А₁, А₂ – постоянные интегрирования.

Если р₁ = р₂ = р, то

и постоянными интегрирования являются А и q.

2.4. Возвращаясь к п. 2.2 (с учетом (3.4)), найдем постоянные интегрирования А₁, А₂ из двух уравнений

При нулевых начальных условиях система (3.7) примет вид

Для колебательного режима (корни р₁, р₂ – комплексные) система (3.7) изменится:

С учетом начальных условий (при t = 0):

Из (3.9) определим:

После нахождения постоянных интегрирования напряжение на емкости (3.7) для апериодического режима:

и переходный ток

Для колебательного режима из (3.8) получим:

где А и q определены в (3.10).

Расчетные данные свести в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Первая коммутация
Момент коммутации	Начальные условия	р1	р2
t = 0	uc(0) = 0 i(0) = 0

Построить u_c(t), i(t) по уравнениям (3.11) ¸ (3.14).

2.б Схема электрической цепи после второй коммутации (размыкание К₂) приведена на рис.3.4.

Рис.3.4

Начальные условия для второй коммутации u_c(t₁) и i(t₁) рассчитать по уравнениям (3.11) ¸ (3.14), подставив t= t₁ (см. табл. 3.1)

Составляем исходное дифференциальное уравнение (подобное (3.1), (3.2), но где R = R₁ +R₂ +R₃), ищем решение его аналогично п.п. 2.1 ¸ 2.4. Отличие от уравнений (3.7), (3.8) в том, что начальные условия ненулевые, поэтому система (3.7) примет вид:

Решение (3.15) относительно неизвестных А₁, А₂ приведет к следующим выражениям (студент может проверить их самостоятельно):

Для колебательного режима система (3.8) становится:

Если для упрощения записи обозначить через произвольные коэффициенты В и g

то решение системы (3.18), относительно неизвестных А и q, приведет к следующим соотношениям:

q = g -w_f ×t₁; (3.19)

Таким образом, u_c(t) и i(t) описываются системой (3.7) для апериодического режима, где А₁ и А₂ определяются из (3.16) и (3.17).

В случае колебательного режима u_c(t) и i(t) описываются системой (3.8), в которой q и А рассчитываются с помощью (3.19), (3.20).

Расчетные данные свести в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Вторая коммутация
Момент коммутации	Начальные условия	р1	р2
t1=	uc(t1) = i(t1) =

Построить кривую переходного тока по вторым уравнениям системы (3.7) или (3.8). На отдельном графике эту кривую совместить с переходным током из п. 2.4.

3. Схема в символической форме (согласно пункту 2.б) при установившемся гармоническом напряжении показана на рис.3.5.

Вариант №… U = 45 В f = 125 Гц au = -75 град R1 = 5,8 Ом R2 = 10,2 Ом R3 =144 Ом L2 =0,098 Гн C1 = 200×10^-6Ф C2 = 235×10^-6 Ф

Рис.3.5

3.1. Комплексное сопротивление цепи

где R = R₁ +R₂ +R₃, L = L₂, С = С₁×С₂ / (C₁+C₂).

3.2. Комплексная амплитуда тока

и амплитуда комплексного напряжения на емкости С

3.3. Переход от комплекса к i(t). Домножим (3.22) на оператор е ^jwt – получим комплекс мгновенного значения тока :

Аналогично получим напряжение на емкости

3.4. Подставим t = 0 в (3.24), (3.25):

Построить временную диаграмму синусоидального тока в установившемся режиме по уравнению (3.24).

4. Схема электрической цепи в операторной форме после коммутации ключа К₂ (замыкание) при ненулевых начальных условиях приведена на рис.3.6,а или (с учетом того, что

R = R₁ + R₂, L = L₂, C = C₁×C₂ / C₁+C₂) на рис.3.6,б.

Рис.3.6

В этих схемах – изображение комплекса мгновенного значения , где = e ^jwt , – изображение комплекса мгновенного значения тока, Z(p) = R + pL +1/pC – операторное сопротивление цепи для послекоммутационного режима.

4.1. Ненулевые начальные условия в индуктивности в операторной форме

Ненулевые начальные условия в емкости в операторной форме

4.2. Операторное выражение для переходного тока нетрудно определить из схемы (рис.3.6):

После преобразования (3.30) ток можно представить в виде отношения полинома числителя N(p) к полиному знаменателя М(р):

4.3. По теореме разложения определяется комплекс мгновенного значения тока (в функции времени):

где p_k – корни уравнения М(р) = 0; N(p_k) – значения полинома N(p) при p = p_k; М^’(p_k) – значения производной от полинома

позволяет определить принужденную и свободные составляющие при условии n £ m (n – степень полинома числителя, m – степень полинома знаменателя). Однако она не применима в

такой форме, если при M(p) = 0 имеются кратные корни.

Выражения N(p) и M^’(p_k), полученные из (3.31):

Тогда (3.32) примет вид

Обозначим:

Основные расчетные данные свести в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Начальные условия	Начальные условия (в опер. ф.)	Корни знаменателя
i(0)	uc(0)			p1	p2	p3

4.4.

По комплексу мгновенного значения тока ((3.32), (3.37)) определяется переходной ток как мнимая часть данного комплекса:

Таким образом, переходной ток состоит из трех составляющих:

- принужденная составляющая,

а два других тока:

- свободные составляющие.

Построить i₁(t), i₂(t), i₃(t) и результирующий ток i(t). На отдельном графике построить результирующую кривую (уравнение (3.39)) и гармонический ток в установившемся режиме (уравнение (3.24)) для сравнительного анализа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Атабеков Г.И. Основы теории цепей. 3-е изд., стер. – СПб.: Изд. "Лань", 2009 – 432 с.

2. Бондаренко В.В. Основы теории цепей. Раздел 1: Учебное пособие. – СПб.: СПбГУКиТ, 2004. – 72 с.

3. Бондаренко В.В. Основы теории цепей. Раздел 2: Учебное пособие. – СПб.: СПбГУКиТ, 2005. – 55 c.

4. Бондаренко В.В. Основы теории цепей. Раздел 3: Учебное пособие. – СПб.: СПбГУКиТ, 2006. – 57 c.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 3

З А Д А Н И Е № 1

Дата добавления: 2014-12-08