Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Второй закон динамики для вращательного движения

Моментом импульса (количества дви­жения) материальной точки А относитель­но неподвижной точки О называется физи­ческая величина, определяемая векторным произведением:

.

где — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; — импульс ма­териальной точки (рис.3.3); Модуль вектора момента импульса

Моментом импульса относительно не­подвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О дан­ной оси. Значение момента импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого те­ла вокруг неподвижной оси z каждая от­дельная точка тела движется по окружно­сти постоянного радиуса с некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, т. е. ра­диус является плечом вектора . Поэто­му можем записать, что момент импульса отдельной частицы

где — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; — импульс ма­териальной точки (рис.3.3); Модуль вектора момента импульса

и направлен по оси в сторону, определяе­мую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела отно­сительно оси есть сумма моментов импуль­са отдельных частиц:

Учитывая, что , получим

, т. е.

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведе­нию момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем последнее уравнение по времени:

, т.е.

Это выражение — является основным урав­нением (законом) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Это уравнение можно выразить следующим образом:

_.

Если ось z совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то можно написать:

,

т.е. момент силы, приложенной к телу, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.

В замкнутой системе момент внешних сил и . Данное выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: мо­мент импульса замкнутой системы сохра­няется, т. е. не изменяется с течением времени.

Дата добавления: 2014-12-10