Дифференциальные уравнения n-ого порядка

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами и произвольной правой частью f(x):

y ′+a y=f(x). (1)

Зная фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения

y ′+a y=0, (2)

можно найти и решение неоднородного уравнения (1). Мы применим при этом метод вариации произвольных постоянных. Суть метода состоит в следующем. Вначале решаем однородное уравнение (2). Пусть y - линейно независимые решения уравнения (2). Тогда y - общее решение однородного уравнения (2). На следующем шаге константы варьируем, то есть, считаем - неизвестные функции аргумента x и ищем общее решение неоднородного уравнения (1) в виде

y=

Функции определяются из системы уравнений

(3)

Затем, интегрируя, находим сами функции с точностью до произвольных постоянных соответственно.

Пример 11. Решить уравнение y"- 2y′ -3y = .

Решение. Составим характеристическое уравнение ,решив которое будем иметь . Общее решение находим в виде

Система уравнений (3) будет иметь вид

и решая эту систему, получаем

или после интегрирования

общее решение данного уравнения

или

Дата добавления: 2014-12-16