Ортогональные системы векторов

Определение 1. Система векторов евклидова пространства { } называется ортогональной, если все ее элементы попарно ортогональны:

Теорема 1. Ортогональная система неравных нулю векторов линейно независима.

{Предположим, система линейно зависима: и, для определенности, Умножим скалярно равенство на . Учитывая ортогональность системы, получим: }

Определение 2. Система векторов евклидова пространства { } называется ортонормированной, если она ортогональна и норма каждого элемента равна единице.

Из теоремы 1 сразу следует, что ортонормированная система элементов всегда линейно независима. Отсюда, в свою очередь, следует, что в n – мерном евклидовом пространстве ортонормированная система из n векторов образует базис (например, { i, j, k } в 3 ^х – мерном пространстве).Такаясистема называется ортонормированным базисом, а ее векторы – базисными ортами.

Координаты вектора в ортонормированном базисе можно легко вычислить с помощью скалярного произведения: если Действительно, умножая равенство на , получаем указанную формулу.

Вообще, все основные величины: скалярное произведение векторов, длина вектора, косинус угла между векторами и т.д. имеют наиболее простой вид в ортонормированном базисе. Рассмотрим скалярное произведение: , так как

а все остальные слагаемые равны нулю. Отсюда сразу получаем: ,

* Рассмотрим произвольный базис . Скалярное произведение в этом базисе будет равно:

(Здесь α_i и β _j – координаты векторов в базисе { f }, а – скалярные произведения базисных векторов).

Величины γ_ij образуют матрицу G, называемую матрицей Грама. Скалярное произведение в матричной форме будет иметь вид: *

Теорема 2. В любом n – мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Доказательство теоремы носит конструктивный характер и носит название

9. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта.

Пусть { a₁,...,a_n } − произвольный базис n – мерного евклидова пространства (существование такого базиса обусловлено n – мерностью пространства). Алгоритм построения по данному базису ортонормированного заключается в следующем:

1. b₁=a₁, e₁ = b₁ /| b₁ |, | e₁ |= 1.

2. b₂ ^ e₁, т.к. (e₁, a₂)- проекция a₂ на e₁ , b₂= a₂- (e₁, a₂) e₁, e₂ = b₂ /| b₂ |, | e₂ |= 1.

3. b₃ ^ a₁, b₃ ^ a₂, b₃= a₃- (e₁, a₃) e₁- (e₂, a₃) e₂, e₃ = b₃ /| b₃ |, | e₃ |= 1.

.........................................................................................................

k. b_k ^ a₁,..., b_k ^ a_k-1, b_k= a_k- S _i=1 ^k (e_i, a_k) e_i, e_k = b_k /| b_k |, | e_k |= 1.

Продолжая процесс, получаем ортонормированный базис { e₁,...,e_n }.

Замечание 1. С помощью рассмотренного алгоритма можно построить ортонормированный базис любой линейной оболочки, например, ортонормированный базис линейной оболочки системы, имеющей ранг равный трем и состоящей из пятимерных векторов.

Пример. x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Замечание 2. Особые случаи

Процесс Грама — Шмидта может применяться также к бесконечной последовательности линейно независимых векторов.

Кроме того, процесс Грама — Шмидта может применяться к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт 0 (нулевой вектор) на шаге j, если a_j является линейной комбинацией векторов a₁,...,a_j-1. Если это может случиться, то для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм должен делать проверку на нулевые векторы и отбрасывать их. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (т.е. количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов).

10. Геометрические векторные пространства R¹, R², R³.

Подчеркнем, что непосредственный геометрический смысл имеют лишь пространства

R¹, R², R³ . Пространство Rⁿ при n > 3 – абстрактный чисто математический объект.

1) Пусть дана система из двух векторов a и b. Если система линейно зависима, то один из векторов, допустим a, линейно выражается через другой:

a = k b.

Два вектора, связанные такой зависимостью, как уже сказано, называются коллинеарными. Итак, система из двух векторов линейно зависима тогда и только

тогда, когда эти векторы коллинеарны. Заметим, что такое заключение относится не только к R³, но и к любому линейному пространству.

2) Пусть система в R3 состоит из трех векторов a, b, c. Линейная зависимость означает, что один из векторов, скажем a, линейно выражается через остальные:

а = k b+ l c. (*)

Если считать, что все векторы a, b, c имеют общее начало, то из (*) следует, что все три вектора лежат в одной плоскости.

Определение. Три вектора a, b, с в R³, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными

(на рис. слева указаны векторы a, b, с из одной плоскости, а справа те же векторы отложены от разных начал и лишь параллельны одной плоскости).

Рис.

Итак, если три вектора в R3 линейно зависимы, то они компланарны. Справедливо и обратное: если векторы a, b, с из R3 компланарны, то они линейно зависимы.

Векторным произведением вектора a, на вектор b в пространстве называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними: ;
• вектор c ортогонален каждому из векторов a и b;
• вектор c направлен так, что тройка векторов a, b, c является правой;

Обозначение:

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке А (то есть выберем произвольно в пространстве точку А и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой А). Концы векторов, совмещённых началами в точке А, не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора c кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Дата добавления: 2014-12-16