Гармонические колебания

II. Основные законы теории колебаний и волн.

Гармонические колебания – колебания, происходящие по гармоническому закону (закону синуса или косинуса).

Х = А sin (ωt + φ₀). (1)

В уравнении 1: А - амплитуда колебаний; (ωt + φ₀) – фаза колебаний;

φ₀- начальная фаза; ω – круговая (циклическая) частота.

вектора , фаза – угол между вектором и осью Х.

Рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника. Один

массой m скользящему с трением вдоль горизонтального стержня. На тело действуют сила тяжести mg сила упругости пружины F_у=-kx, нормальная реакция опоры N Запишем 2-й закон Ньютона. (1)

конец пружины жестко закреплен. Второй конец прикреплен к грузу

Запишем это уравнение в проекции на ось Х: ma=F_у или m(d²x/dt²)= -kx

Разделим обе части уравнения на m и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения (d²x/dt² )+ (k/m)x=0. Введем обозначения (k/m)=ω₀², где ω₀ - циклическая частота собственных колебаний. Перепишем уравнение

(d²x/dt² ) + ω₀² x=0 (2)

Получили уравнение второго порядка гармонических колебаний, так как

решением его является уравнение гармонических колебаний

Х=Аcos(ω₀t + φ₀)

Если подставить в уравнение 2 значения d²x/dt² (d²x/dt² =-А ω₀² cos(ω₀t + φ₀)) и X (Х=Аcos(ω₀t + φ₀)), то получим -А ω₀² cos(ω₀t+φ₀) +А ω₀² cos(ω₀t+φ₀)=0.

Следовательно Х=Аcos(ω₀t + φ₀) является решением уравнения 2.

Круговая частота ω связана с частотой колебаний υ соотношением υ= ω/2π. Период колебаний Т=1/υ =2π/ω. Для пружинного маятника Т=2π , для математического T =2π , для физического маятника (I - момент инерции тела относительно оси, m –масса маятника, h – расстояние между центром тяжести и осью вращения).

Скорость материальной точки колеблющейся по гармоническому закону: ν = dx/dt= - Aωsin(ωt + φ₀) (3); ν = - ν_max sin(ωt + φ₀)=

ν_max cos((ωt + φ₀)+π/2), где ν_max= Aω.

Фаза скорости больше фазы смещения на π/2.

Ускорение а = dν/dx =- Aω² cos(ωt + φ₀) (3);

a = - a_max cos(ωt + φ₀) =a_max cos((ωt + φ₀) + π) (4), где a_max = Aω².

Ускорение и смещение находятся в противофазе.

Кинетическая энергия колеблющейся материальной точки

Е_к = (½)mν² =(½)m A ²ω ²sin ²(ωt + φ₀)

Е_к =(½)k A ²sin ²(ωt + φ₀) (5), где mω ²=k.

Потенциальная энергия

Е_п =(½)к х² =(½)к А ²cos ²(ωt + φ₀) (5)

Полная механическая энергия

Е= Е_к+ Е_п=(½)k A ² (sin ²(ωt + φ₀)+ cos ²(ωt + φ₀)) =(½)k A ² (6)

При отсутствии сил трения полная механическая энергия сохраняется.

Дата добавления: 2014-12-16