Образец решения задачи

Задачи для самостоятельного решения.

1. Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид:

0.2 d²x/dt² + 0,6 dx/dt + 0,8 x =0. Найти коэффициент затухания β, циклическую частоту ω и период колебаний Т.

2. Определить частоту собственных колебаний ноги человека, рассматривая ее как физический маятник, приведенная длина которого

ℓ=40 см. Приведенная длина - это длина математического маятника ℓ, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника.

3. Горизонтальный пружинный маятник (тело массой m =1кг, прикрепленное к пружине жесткостью k =10 Н/м) совершает колебательные движения. Начальная амплитуда колебаний А₀=1см. Записать дифференциальное уравнение колебаний, а также решение этого уравнения.

4. Известно, что человеческое ухо воспринимает упругие волны в интервале от 20 Гц до 20 кГц. Каким длинам волн соответствует этот интервал в воздухе? Скорость звука в воздухе 340 м/с.

5. Определить разность фаз в пульсовой волне между двумя точками артерии, расстояние между которыми 20 см. Скорость пульсовой волны

10 м/с. Колебания сердца считать гармоническими с частотой 1,2 Гц.

6. Скорость движения эритроцита в артерии равна 0,3 м/с. Скорость ультразвука – 1500 м/с, частота - 100 кГц. Найти доплеровский сдвиг частоты, если эритроцит движется навстречу технической системе.

1) Условие задачи.

Горизонтальный пружинный маятник (тело массой m =100г, прикрепленное к пружине жесткостью k =1 Н/м) совершает колебательные движения в вязкой среде. Сила сопротивления прямо пропорциональна скорости. Коэффициент пропорциональности r =0,01 Нс/м. На колебательную систему действует внешняя вынуждающая сила F=5 sin (πt/2). Записать дифференциальное уравнение колебаний, а также решение этого уравнения. При какой частоте внешней вынуждающей силы в системе наступит резонанс?

Анализ условия задачи.

По условию задачи дано тело, которое совершает колебательные движения. Будем считать тело материальной точкой. Массой пружины и силой трения между опорой и телом пренебрежем. Укажем действующие

силы. Необходимо записать уравнения динамики (X(m,k,r,t,F)) и кинематики (Х(t)) вынужденных колебаний, а также определить величину резонансной частоты ( ω_рез).

Запишем условие и решение задачи в символической форме.

По второму закону Ньютона: В проекции на ось Х ma = F_у+F_тр+F F_у=-kx, F_с=-rν, а = d²x/dt² ν=dх/dt, F=F₀sin ωt m(d²x/dt²)= -kx – r(dx/dt) + F₀ sin ωt.=> (d²x/dt² )+ 2β(dx/dt) + ω₀² x= f₀ sin ωt, где (k/m)=ω₀² , (r/m)=2β, f₀=F₀/m    

Опр.X(m,k,r,t,F)=? X (t)=?_ ω_рез=?___ m=100г k=1Н/м r =0,01Нс/м A₀= 2см F = 5 sin (πt/2). ω=π/2рад/с=1,57рад/с    

2β=(0,01Н•с/м)/ 0,1кг=0,1(кг• м •с)/(с²•м •кг)=0,1с^-1; β=0,05 с^-1

ω₀² = (1 Н/м)/0,1кг=10 кг м/м с²кг=10 с^-2; ω₀=3,16 с^-1

f₀= 5 Н/0,1 кг = (50) кг м/с²кг=50 м/с²

(d²x/dt² )+ 0,1(dx/dt) + 10 x= (50) sin (πt/2)

Решением этого уравнения является

Х = А sin(ωt + φ₀) ω=π/2 => Х= А sin(πt/2+φ₀)

А= f₀/ ; tg φ₀=-2βω/(ω ² – ω₀²)

tg φ₀=- 2•0,05 с^-1 •1,57 с^-1/(2,46 с^-2-10 с^-2)=0,02082

φ₀ =1,3 рад

Х=6,63 sin(1,57 • t +1,3)

=3,16 рад/с

Ответ: 1) (d²x/dt² )+ 2β(dx/dt) + ω₀² x= f₀ sin ωt;

2) (d²x/dt² )+ 0,1(dx/dt) + 10 x= (50) sin (1,57•t);

3) Х = А sin(ωt + φ₀)

4) Х=6,63 sin(1,57 • t +1,3)

5) ω_рез= 3,16 рад/с

Тесты для самоконтроля.

Дата добавления: 2014-12-16