Свойства определителей

1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы: det A ^Т= det A. 2. Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножению определителя на это число: 3. Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный. 4. Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю. 5. Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю. 6. Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю. 7. Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали: 8. Если все элементы k -ой строки (столбца) определителя представлены в виде сумм a_{k j} + b_{k j}, то определитель можно представить в виде суммы соответствующих определителей: 9. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число.

Доказательства

Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы: . Доказательство. Согласно определению, (1) При транспонировании матрицы A происходит лишь перегруппировка слагаемых в этой сумме.

***

Свойство 2. Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножению определителя на это число: . Доказательство. При умножении строки (или столбца) определителя на число λ один из сомножителей в произведении a _{1 k 1} a _{2 k 2} ...a_{nk n}умножается на это число. В результате число λ является общим множителем суммы (1), представляющей собой определение детерминанта матрицы A.

***

Свойство 3. Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный. Доказательство. По Теореме 1, любая транспозиция изменяет четность перестановки. Следовательно, при перестановке двух строк (столбцов) каждое слагаемое суммы (1) изменяет свой знак на противоположный.

***

Свойство 4. Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю. Доказательство. Каждая строка и каждый столбец матрицы A представлены одним из своих элементов в произведении a _{1 k 1} a _{2 k 2} ...a_{nk n}. Следовательно, сумма (1) содержит только нулевые слагаемые.

***

Свойство 5. Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю. Доказательство. По Свойству 3, при перестановке двух строк местами определитель изменяет свой знак. С другой стороны, перестановка местами одинаковых строк не изменяет определитель. Следовательно, det A = –det A, что влечет det A = 0.

***

Свойство 6. Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю. Доказательство. Общий множитель строки можно вынести за знак определителя. Полученный при этом определитель имеет две одинаковых строки. Согласно Свойству 5 такой определитель равен нулю.

***

Свойство 7. Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали: . Доказательство. По определению (1), det A представляет собой алгебраическую сумму произведений элементов (с учетом правила выбора знаков), составленных таким образом, чтобы каждая строка и каждый столбец матрицы A были представлены в произведении одним и только одним элементом. В первом столбце имеется только один ненулевой элемент, а именно a ₁₁. Второй столбец вносит ненулевой вклад в произведение только при выборе элемента a ₂₂, поскольку первая строка уже представлена своим элементом. Аналогично, в третьем столбце выбор может быть остановлен только на элементе a ₃₃ и так далее. Таким образом, сумма (1) содержит только один ненулевой член, который равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

***

Свойство 8. Если все элементы k -ой строки (столбца) определителя представлены в виде сумм a_{k j} + b_{k j}, то определитель можно представить в виде суммы соответствующих определителей: . Доказательство. Преобразуем исходный определитель: .

***

Свойство 9. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число. Доказательство. Определитель, стоящий в правой части этого равенства, можно представить в виде суммы двух определителей, один из которых является исходным, а второй имеет две пропорциональные друг другу строки и, следовательно, равен нулю.

Примеры:

1. Вычислить . Решение. Преобразуем определитель, вычитая из второй строки удвоенную первую, а из третьей – утроенную первую: Вынося из третьей строки общий множитель 2, мы получаем определитель, имеющий две одинаковых строки:

***

2. Вычислить . Решение. Заметим, что . Далее, .

***

3. Пусть . Вычислить: (а) ; (б) ; (в) ; (г) ; (л) . Решение. Определитель матрицы треугольного вида равен произведению диагональных элементов. Следовательно, . Определитель произведения матриц равен произведению определителей: . Представим матрицу 2 A в виде 2 EA, где E – единичная матрица. Тогда . Аналогично, . Теперь найдем матрицу (A - 2 E), а затем ее определитель: , .

Дата добавления: 2014-12-16