Основные понятия. Рассмотрим квадратную матрицу A

Обратная матрица

Рассмотрим квадратную матрицу A. Напомним, что матрица называется обратной матрицей, если

где E – единичная матрица.

Отметим, несколько забегая вперед, что условием существования обратной матрицы является отличие от нуля определителя матрицы. В этой связи уместно ввести соответствующую терминологию.

Матрица называется сингулярной, если ее определитель равен нулю. В качестве синонимов используются также термины “ особая матрица” или “ вырожденная матрица”.

Если det A ¹0, то матрица A называется несингулярной (или неособенной, или невырожденной).

Если в матрице A заменить ее элементы их алгебраическими дополнениями и транспонировать матрицу, то полученная матрица называется присоединенной для A и обозначается символическим выражением adj A:

Таким образом, adj A =(A_ij ^т)_nxn и (adj A) _ij = A_ij ^т= A_ji.

Пусть A – квадратная матрица n -го порядка.

Лемма 1 (Теорема аннулирования)

Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю:

(1)

и

(2)

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную матрицу , полученную из матрицы A заменой j -ой строки i -ой строкой:

.

Произведем разложение det по элементам j -ой строки:

Заметим, что алгебраическое дополнение элемента некоторой строки не зависит от элементов этой строки. (Потому что при вычислении алгебраического дополнения эта строка просто вычеркивается.) Однако матрицы и A отличаются друг от друга только j -ой строкой и, следовательно, _jk = A_jk. Тогда

Поскольку матрица имеет две одинаковых строки, то ее определитель равен нулю.

Таким образом, утверждение (1) доказано:

.

Аналогично доказывается справедливость утверждения (2).

Пример

Пусть .

Найдем алгебраические дополнения элементов первой строки этой матрицы:

A ₁₁=-13, A ₁₂=23, A ₁₃=15.

Вычислим сумму произведений элементов второй строки матрицы A на алгебраические дополнения элементов первой строки:

4·(–13) + (–1)·23 + 5·15 = 0.

Также равна нулю сумма произведений элементов третьей строки матрицы A на алгебраические дополнения элементов первой строки:

7·(–13) + 2·23 + 3·15 = 0.

Дата добавления: 2014-12-16