Постановка задачи интерполяции

Аппроксимация функций

Локальная интерполяция:
Кусочно–постоянная интерполяция
Кусочно–линейная интерполяция
Кубический интерполяционный сплайн
Глобальная интерполяция:
Полином Лагранжа
Подбор эмпирических формул
Метод наименьших квадратов

Аппроксимировать – это означает "приближённо заменять". Допустим, известны значения некоторой функции в заданных точках. Требуется найти промежуточные значения этой функции. Это так называемая задача о восстановлении функции. Кроме того, при проведении расчетов сложные функции удобно заменять алгебраическими многочленами или другими элементарными функциями, которые достаточно просто вычисляются (задача о приближении функции).

На интервале [a, b] заданы точки x_i, i=0, 1,..., N; a ≤ x _i ≤ b, и значения неизвестной функции в этих точках f_i, i=0, 1,...., N. Требуется найти функцию F(x), принимающую в точках x_i те же значения f_i. Точки называются узлами интерполяции, а условия F(x_i)= f_i. – условиями интерполяции. При этом F(x) ищем только на отрезке [a,b]. Если необходимо найти функцию вне отрезка, то - это задача экстраполяции. Пока мы будем рассматривать только интерполяционные задачи.

Задача имеет много решений, т.к. через заданные точки (x_i, f_i), i= 0, 1,..., N, можно провести бесконечно много кривых, каждая из которых будет графиком функции, для которой выполнены все условия интерполяции. Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами, т.е. .

Все методы интерполяции можно разделить на локальные и глобальные. В случае локальной интерполяции на каждом интервале [ x_{i– 1}, x_i ]строится отдельный полином. В случае глобальной интерполяции отыскивается единый полином на всем интервале [ a, b ]. При этом искомый полином называется интерполяционным полиномом.

Дата добавления: 2014-12-16