Кусочно–линейная интерполяция

Кусочно–постоянная интерполяция

Локальная интерполяция

На каждом отрезке интерполяционный многочлен равен константе, а именно левому или правому значению функции.

Для левой кусочно-линейной интерполяции , т.е.

Для правой кусочно-линейной интерполяции , т.е.

Легко понять, что условия интерполяция выполняются. Построенная функция является разрывной), что ограничивает ее применение. Для левой кусочно-линейной интерполяции имеем графическое представление:

На каждом интервале [ x_i–1, x_i ]функция является линейной . Значения коэффициентов находятся из выполнения условий интерполяции в концах отрезка: . Получаем систему уравнений: ,откуда находим . Следовательно, функцию F(z) можно записать в виде:

, т.е.

Или F(x) = k_i * (x - x_i-1) + f_i-1,
k_i = (f_i - f_i-1) / (x_i - x_i-1), x_i-1 ≤ x ≤ x_i, i=1,2,...,N-1

При использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение x, а затем подставить его в формулу.

Итоговая функция будет непрерывной, но производная будет разрывной в каждом узле интерполяции. Погрешность такой интерполяции будет меньше, чем в случае кусочно–постоянной интерполяции. Иллюстрация кусочно–линейной интерполяции приведена на рисунке

Пример: Заданы значений некоторой функции:

x				3.5
f	-1	0.2	0.5	0.8

Требуется найти значение функции при z= 1 и z=3.2по кусочно–постоянной и кусочно–линейной интерполяции.

Решение. Точка z = 1принадлежит первому локальному отрезку [0, 2], т.е. и, следовательно, по формулам левой кусочно–постоянной интерполяции F (1) = f ₀ = – 1, по формулам правой кусочно–постоянной интерполяции F (1)= f ₁=0.2. Воспользуемся формулами кусочно–линейной интерполяции:

.

Точка z=3.2 принадлежит третьему интервалу [3, 3.5], т.е. и, следовательно, по формулам левой кусочно – постоянной интерполяции F(3.2)= =0.5, по формулам правой кусочно – постоянной интерполяции F(3.2)= =0.8. Воспользуемся формулами кусочно–линейной интерполяции:

Дата добавления: 2014-12-16