Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Использование преобразования Лапласа 1 страница




Передаточная функция линейной системы

От дифференциального уравнения (1) можно перейти к линей-

ной системе, т.е. к некоторому четырехполюснику.

 

 

Вх W(p) Вых

 

Этот четырехполюсник можно создать на элементной базе или

смоделировать на ЭВМ.

От дифференциального уравнения (1) к W(p) можно перейти

двумя путями - используя символический метод и 2-е прео-

бразование Лапласа.

 

Сивмолический метод Хиви Сайда.

Применив символический метод к (1) получим:

 

 

(3)

 

Формула (3) представляет собой отношение двух полиномов -

описание передаточной функции.

 

 

 

 

- преобразование Лапласа, p=jw

Если мы применим преобразование Лапласа к левой части (1)

и учитывая, что , получим:

 

(4)

 

X(p) Y(p)

W(p)

 

 


Если правая часть передаточной функции простейшая -

, то воздействие обычное. Передаточ-

ная функция будет иметь вид:

(5) , где знамена-

тель дроби есть характеристическое уравне-

ние.

 

Пример: Дифференциальное уравнение 2-го порядка описы-

вается передаточной функцией:

 

(6)

Для нахождения решения дифференциального уравнения снача-

ла необходимо решить следующее уравнение:

Известно, что дифференциальное уравнение 2-го порядка

имеет решение в виде комплексной экспоненты или действий

над ней. (Это зависит от корней характеристического урав-

нения). Если корни комплексные, тогда решение будет:

(7) wt+ wt)

 

Если корни ±a + jw решение будет (7)¢

 

(7) и (7)’ - решение в виде нарастающей или затухающей синусоиды, либо обычной синусоиды, если a=0.

 

 

Устойчивость линейных систем

 

Линейная система полностью описывается передаточной функ-

цией, которая представляет собой:

в комплескной плоскости

p=s+jw. Эти полиномы получены из дифференциальных урав-

нений путем преобразования Лапласа.

Ставится проблема: как исследовать систему с помощью W(p)

Оказывается, что это проще сделать чем исследовать диффе-

ренциальные уравнения. Исследование по W(p) производится с помощью анализа полюсов и нулей.

 

Полюсом называется то значение корня уравнения в знаменателе, при котором Q(p)=0.

 

Количество корней определяется степенью полинома. Если

корни комплексно-сопряженные, то в точке, где Q()=0,

W(p)=¥ - полюс.

 

Нулями W(p) называются точки на комплексной плоскости,

где полином P(p)=0.

Количество нулей определяется порядком поли-

нома.

jw

s > 0 полюсы

 

сопряж. пара ®

 

s > 0

 

 

- полюсы (корни характеристического урав-

нения). Если корни комплексные, то они сопряженные.

 

Выводы:

1. Если корни характеристического уравнения Q(p)

находятся в левой полуплоскости, то система ус-

тойчива. (wt+j) - решение для комплексных

корней.

2. Если s >0, то решение будет (wt+j).

Система неустойчива.

 

Расположение нулей определяет корректирующие свойства системы, т.е. оказывают воздействие на переходной процесс

Если нули в левой полуплоскости, то такая система называется минимально фазовой.

Если нули в правой полуплоскости - нелинейно фазовая

система.

Если полюсы на мнимой оси, т.е. s=0, то система нахо-

дится в колебательном режиме (Система без потерь).

 

 

Передаточная функция линейной системы на мнимой оси

 

В этом случае после преобразований получим:

W(jw)=A(w)+jB(w) -

Передаточная функция есть комплексное число.

Замечание: Не путать с корнями на мнимой оси.

 

Оказывается очень удобно исследовать W(jw)на мнимой оси не с помощью нулей и полюсов, а с использованием комплек-

сной передаточной функции.

 

Комплексная функция:

 

АЧХ - четная функция:

ФЧХ - нечетная функция:

 

 

 

АЧХ

 

 

ФЧХ

 

АЧХ показывает селективность системы по

амплитудному спектру.

ФЧХ показывает - какой сдвиг фаз получает на

выходе фильтра каждая гармоника.

 

Замечание: Известно, что спектр сигнала (по

Фурье) удобно представлять в ком-

плексной виде, т.е. у спектра есть АЧХ (рас-

пределение гармоник по амплитуде от частоты), и ФЧХ (рас-

пределение фаз).

 

Выводы: Комплексное представление спектра или передаточ-

ной функции W(p) очень удобно радиотехнике. Это

позволяет компактно записать АЧХ и ФЧХ.

 

 

Передаточная функция систем радиоавтоматики

 

1)

вх ¼¼ вых

 

Передаточная функция последовательно соединенных звень-

ев:

 

2)

Передаточная функция парал-

лельно соединенных звеньев:

вх вых

::

::

::

 

3) y(t) Передаточная функция системы

x(t) ¾Ä¾¾¾ ¾¾¾¾ с обратной связью:

 

 

Типовые звенья радиоавтоматики

 

 

1) Инерционное звено

Передаточная функция:

C

вх R вых ;

 


W(w) АЧХ

 

K

 

j (w)= - arctgTw ФЧХ

 


0 w

 

 

-45°

 

-90°

 

 

2) Интегрирующее звено

Передаточная функция:

W(w) АЧХ W(p)=

 

; ФЧХ:

 

 

 


0 w

 

 

3) Дифференцирующее звено

C

R

R L


 

W(w) АЧХ Передаточная функция:

 

W(p)=Kp

АЧХ: W(w)=Kw

ФЧХ: j(w)=

0 w

 

 

4) Форсирующее звено

W(w) АЧХ

Передаточная функция:

 

K АЧХ:

w ФЧХ:

 

j (w)

 

 

0 w

 

5) Запаздывающее звено

 

АЧХ: =1 Передаточная функция:

ФЧХ: j(w)=wt

j(w) ФЧХ

АЧХ

 

 


1

 

Запаздывающее звено называется линией задержки, где

t=T - время запаздывания ЛЗ. j(w)=wT;

 

5) Колебательное звено

Передаточная функция:

АЧХ - параметр затухания

<1 - устойчивая система

>1 - самовозбуждающаяся

система

ФЧХ

 

 

6) Неминимально фазовое звено

Передаточная функция:

АЧХ при a=b:

; W(w)=1

ФЧХ при а=b: АЧХ

 

ФЧХ

 

Цифровые системы автоматического управления

 

 

Задан процесс: Будем рассматривать про-

y(t) цесс y(t) в дискретные мо-

менты времени.

Такой процесс называется с

дискретным временем.

 

Значения этого процесса в

дискретные моменты:

 

- значения

 

Существуют два типа процесса с дискретным временем:

 

1)Процесс с дискретным временем и непрерывным множеством

состояний. Это означает, что функция является непре-

рывной (если это случайный процесс, то непрерывна в

среднем квадратическом).

 

ПЗС

 

y(t) Преобразователь - непрерывные функции

 

 

ПЗС - прибор с зарядовой связью

- интервал дискретизации во времени (квантование по

времени)

 

Для таких процессов составляются разностные уравнения:

 

 

- 1-е приращение, конечная разность

- 2-я разность

 

 

2) Процесс с дискретным временем и дискретным множеством

состояний.

 

 


y(t) АЦП

 

Процесс 2 отличается от процесса 1 тем, что записы-

вается в цифровом виде - дискретная функция, вся база

исследований другая. Квантование идет и во времени и

по уровню.

Очень часто делается бинарное квантование 0;1. В этом

случае аппаратура сильно упрощается.

 

Замечание:

1) В первом случае (ПЗС) если y(t)~ , то выход-

ной процесс , т.е. такой же, но дискрет-

ный.

2) - биномиальное распределение.

Оказывается, если число уровней квантования ³ 8,то

их можно отождествить с непрерывными системами.

 

 

Представление дифференциальных уравнений, описывающих

системы автоматического управления конечных разностей

 

 

(1)

- первая разность, аналог пер-

вой производной

n - непрерывное время, непрерывное множество состо-

яний.

- аналог 2й

производной

.......................................

 

- аналог К-той производной

Если это подставить в непрерывное дифференциальное урав-

нение то получим следующее:

 

(2)

 

Если подставить в (2) разности, то получим:

 

(3) -

- разностное уравнение с дискрентным временем.

 

Z -преобразования

Аналогичны преобразованию Лапласа. Это очень удобный аппарат для исследования систем с дискретным временем в

частотной области. Для этого вместо экспоненты (для упро-

щения) вводится - это есть Z-преобразование. Для

того, чтобы ввести Z-преобразование используется сле-

дующий прием связи непрерывного процесса X(t)и дискретно-

го (1)

X(1),X(2) - выборка с дискрет-

ным временем

 


Рассмотрим преобразование Лапласа:

(2)

Формально введем новую переменную:

(3)

Используя (2) и (3) получим

(4)

(4) - называется Z-преобразования, показывает как перейти

от функции с дискретным временем (X(n)) к спектру

на Z-плоскости.(Оно проще преобразования Лапласа,

но имеет те же свойства и для разных дискретных

функций имеются специальные таблицы.

 

Устойчивость систем с дискретным временем

Системы с непрерывным временем характеризуются передаточ-

ной функцией (отношения 2х полиномов), тоже самое в Z-пре

образовании, только переменная не p = s ± jw, a ,

либо (на линейной оси)

 

 

P-плоскость Z-плоскость

(Система

устойчива)

 

 

- окружность, следовательно левая комплексная полу-

плоскость легче преобразуется во внутренность круга

 

Если полюсы передаточной функции находятся во внутреннос-

ти круга, то система устойчива, если полюсы находятся на

самом круге, то будет колебательный процесс, если вне

круга - система неустойчивая.

 


- устойчивая система - колебательная

система

 

 


 

n

 


- неустойчивая система

 

 


n

 

 

Глава 3

 

Нелинейные динамические системы

Нелинейные динамические системы описываются дифференци-

альными уравнениями:

 

(1) , где - вектор, ,

Если линейные дифференциальные уравнения имеют решения

(экспоненциальные), то для нелинейных дифференциальных

уравнений нет общих решений (за редким исключением), но

все реальные динамические системы нелинейны, некоторые

из них нельзя линеаризировать, как быть?

 

Выход: 1) Там,где возможно, делается линеаризация правой

части уравнения (1).

Линеаризация - замена нелинейной функции на линейную.

 

(2) f(x,t)=A(t)x + B(t) + S(x,t)

S(x,t) - мало, им можно принебречь.

Если правая часть (1) не зависит от времени, то система

называется автономной

Линеаризация используется,как правило, для проверки

устойчивости системы. Для исследования свойств нелиней-

ных динамических систем, обычно используются качественные

и численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений. Теория нелинейных уравнений часто называется

теорией нелинейных колебаний.

 

Пример: Нелинейной динамической системы уравнений Вандер

Поля.

 

 

- нелинейность.

= const

Дифференциальное уравнение называется нелинейным, если

оно нелинейно относительно разыскиваемой переменной (са-

мой переменной или ее производной) (нелинейность из-за

квадрата)

 

Требуется найти решение x(t).

 

Существуют численные методы решения таких дифференциаль-

ных уравнений (численные методы рассматриваются на сет-

ке с шагом ). Решение получается не непрерывное, а

дискретное.

Численные методы описыва-

t ются в книге: Эльсгольц

‘Теория дифференциальных

уравнений и вариационное

исчисление’.

 

U

 

 

 

Численный метод Эйлера (численный метод)

 

, ;

 

(5)

Численный метод предназначен для решения не-

линейных дифференциальных уравнений.

Берется из апприорных (начальных условий) ,

подставляется в правую часть уравнения (5) и

т.д. Это называется реккурентностью.

 

Качественная теория решения нелинейных диффе-

ренциальных уравнений (в приложении к нелинейным систе-

мам)

 

В отличие от численного метода (Метод Эйлера), который

дает решение в 1й точке (не дает траекторию (нужно де-

лать 1000 точек, чтобы получить траекторию)).

Пуан Каре в 19 веке дал качественную теорию решения диф-

ференциальных уравнений, она используется для решения не-

линейных дифференциальных уравнений в виде некоторого фа-

зового портрета (некоторый графический материал, по ко-

торому можно анализировать траекторию движения динамичес-

кой системы, т.е. фактически получить решение (1-го из

решений).

 

На примере X и Y:

y (1) , где

f(x,y) - некоторая нели-

a dy нейная функция

- нелинейная

функция

 

x

Найти решение означает - найти y=j(x) (2),

которая удовлетворяет (1).

Пуан Каре развил метод, как найти (2) прямо на

плоскости.

 

Метод изоклин

 

Если f(x,y)=const, то , а , на кривой

f(x,y)=const все производные имеют одно и тоже значение,

такая кривая называется изоклиной. (tga=const, a=const)

Можно вычислить множество изоклин, это множество дает по-

ле направлений. Касательная к этому полю и есть решение,

т.о. это есть траектория, которую мы разыскиваем.

 

y Пример1: ;

y

 


- решение диф. - изоклина

уравнения

 

 


x

 


x

 

Пример 2: ,

Величина радиуса - значение производной, любая окружность - изоклина. Решение (касательная к полю направления) -

-есть касательная к векторам, расположенная на изоклинах.

 

 

 

 


­ - изоклина

решение

 

 

- Уравнение Вандер Поля

 

x(t) - напряжение на контуре автогенератора, фазовая пе-

ременная

= const - параметр

 

- вторая фазовая переменная

Учитывая это имеем:

(1)’ пусть = 0

 

(1)’’

 

 

 


- изоклина

 

 


- фазовый портрет

- Решение дифференциаль-

ного уравнения Вандер

Поля - окружность

(при = 0)

 

 


Если на входы X и Y осцилографа подать две синусоиды, то

получим окружность (фигура Лиссажу), следовательно окруж-

ность дает решения синусоидального колебания.

x Y

 


t t

 

 

Пусть ¹ 0 (см. ур-е (1)’) фазовый портрет будет 2х ти-

пов:

Y X(t)

 

 

 


X

t

 

Выводы:

1) Динамические системы радиоавтоматики описыва-

ются дифференциальными уравнениями 1, 2 и бо-

лее высокого порядка (например: колебатель-

ная система(солнечная система, автогенератор,

полет космического аппарата в поле притяже-

ния земли) описывается диф. уравнением 2-го

порядка и выше.

2) Линейные динамические системы описываются ли-

нейными диф. уравнениями. Линейная динамичес-

кая система составленная из R,L,C - цепочек и

активных элементов (транзисторов и т.д.).

Любая линейная система путем преобразования

Лапласа может быть представлена в виде пере-




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 1023; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.299 сек.