Задачи для самостоятельной работы. Решение типовых задач к разделу 3

Решение типовых задач к разделу 3

Уравнение пучка прямых на плоскости

Пучком прямых, проходящих через заданную точку (центр пучка), называется множество всех прямых, проходящих через эту точку.

Если точка задана своими координатами, то уравнение пучка может быть записано в виде либо , либо . Если же точка задана точкой пересечения прямых и , то уравнение пучка имеет вид

(3.4.1)

где - действительное число.

3.5.1. Найти уравнение окружности радиуса R с центром в точке C(a,b)

Решение. По определению окружности расстояние любой точки M(x,y), лежащей на окружности, от ее центра C(a,b) равно длине радиуса R, т.е. CM=R.

Найдем длину отрезка CM и выразим равенство CM=R с помощью текущих координат точки M:

3.5.2. Найти точки пересечения линий и

Решение. Система уравнений

имеет два решения: и , следовательно, данные линии имеют две общие точки и .

3.5.3. Составить уравнение прямой линии, образующей с осью Ох угол 60° и пересекающей ось Оу в точке (0,-2). Выяснить, проходит ли эта прямая через точки А(,1) и В (2,5)

Решение. Из условия задачи следует, что начальная ордината b=-2, угловой коэффициент , следовательно, по формуле (3.1.7) имеем .

Подставляя в искомое уравнение прямой координаты точки А вместо текущих координат, получим 1=3-2, т.е. 1=1.

Прямая проходит через точку А(,1).

Аналогично, подставляя в уравнение координаты точки B, получим: .

Прямая не проходит через точку В.

3.5.4. Уравнение привести к уравнению с угловым коэффициентом

Решение. Данное уравнение решим относительно , получим уравнение .

Отсюда видно, что , .

3.5.5. Написать уравнение прямой, проходящей через данные точки
А(2,-5) и В(1,3)

Решение. Используя формулу (3.8) запишем уравнение данной прямой

3.5.6. Написать уравнение прямой проходящей через точку

1. Параллельно вектору .

2. Перпендикулярно вектору .

Решение.

1. Используя каноническое уравнение прямой (3.5), имеем или .

2. Используем уравнение (4.1): . Имеем или .

3.5.7. Найти координаты M(x,y,z), делящей отрезок M₁M₂ в отношении , если M₁(1,2,3), M₂(3,9,-2)

Решение. Используем формулы деления отрезка в заданном отношении .

, , , , , (3.5.7)

3.5.8. Найти угол между прямыми и

Решение. По формуле (3.3.1) получим , где , , .

Здесь угол отсчитывается от прямой .

3.5.9. Выбрать значение коэффициента прямой

таким, чтобы эта прямая была:

1. Параллельна прямой .

2. Перпендикулярна прямой .

Решение.

1. Используя условие параллельности прямых, получим
, .

2. Используя условие перпендикулярности прямых, получим

, .

3.5.10. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и , а также:
а). точку , б). перпендикулярно прямой

Решение.

a) Используем уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения данных прямых . Имеем . Число найдем из условия, что прямая должна проходить через точку : Подставляя найденное значение в уравнение пучка, получим

.

b) Используя условия перпендикулярности прямых, можем записать . Подставляя в уравнение пучка, получим .

3.6.1. Найти угловой коэффициент каждой из прямых, которые заданы уравнениями:

1. .

2. .

3. .

4. .

3.6.2. Написать уравнение прямой, пересекающей ось Ох в точке с ординатой и образующей с осью Ох угол .

3.6.3. Определить острый угол между прямыми и .

3.6.4. Через начало координат провести параллельную и перпендикулярные прямые к данной прямой .

3.6.5. Через точку провести прямую, перпендикулярную к прямой .

3.6.6. Через точку пересечения прямых и провести прямую так, чтобы она прошла, кроме того, и через точку .

3.6.7. Через точку пересечения прямых и провести прямую под углом к первой из них.

Указание. Использовать формулы (3.4.1) и (3.3.1).

3.6.8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку и образующей в I четверти с осями координат треугольник, площадь которого равна 16.

Указание. Уравнение прямой находится по формуле:

(3.6.8)

Это уравнение прямой называется уравнением в отрезках.

Дата добавления: 2014-11-29