Кривые второго порядка. Поворот осей координат

Поворот осей координат

Рис.4.2

Из рис.4.2 видно, что , , , .

Учитывая, что , из этих формул получим:

Окончательно, получим:

(4.2.1)

или (4.2.2)

Замечание 1. Формулы (4.2.2) можно получить из соотношений (4.2.1), рассматривая их как уравнения, определяющие и через и , и разрешая их относительно и .

Замечание 2. Формулы (4.2.2) называют формулами обратного перехода, которые выражают координаты и через и .

Рассмотрим матрицу и векторы и .

Матрица невырожденная, т.к. определитель этой матрицы отличен от нуля

.

Тогда формулы (4.2.1) в матричном виде имеют вид , т.е.

, (4.2.3)

а формулы (4.2.2) имеют вид , т.е.

(4.2.4)

можно проверить, что .

- обратная матрица матрицы .

- транспонированная матрица матрицы .

.

Любое уравнение второго порядка вида Ах2+2Вocy+Сy2+Ех+Dх+F=0 определяет на плоскости одну из след. кривых: окружность, эллипс, гиперболу, параболу или, в особых случаях, пару прямых или точки.

Мы не будем доказывать это утверждение, а приведем лишь канонические уравнения перечисленных линий второго порядка и их геометрические изображения.

Дата добавления: 2014-11-29