Взаимное расположение двух плоскостей

Расстояние от точки до плоскости

Аналогично случаю прямой на плоскости, нормальное уравнение плоскости позволяет определить расстояние любой точки пространства до этой плоскости.

Теорема: Расстояние от точки M(x₀,y₀) до плоскости p, данной своим нормальным уравнением (6.3.5) равно модулю числа, получаемого, если в левую часть уравнения (6.3.5) подставить x = x₀, y = y₀, z = z₀, т.е. d =ôx₀ cosa+y₀ cosb+z₀ cosg-pô (6.4.1)

Если плоскость p задана общим уравнением (6.1.2), то

d =ôAx₀+By₀+Cz₀+Dô/

Пересекающиеся плоскости A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 (6.5.1)

и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 (6.5.2)

образуют две пары вертикальных двугранных углов.

Углом между плоскостями будем называть любой из двух смежных двугранных углов. Один из них равен углу j между векторами (A₁, B₁, C₁) и (A₂, B₂, C₂), перпендикулярными соответственно к плоскостям (6.5.1) и (6.5.2), а второй - j₁=180⁰-j. Следовательно искомый угол можно найти по формуле: (, )=ô ôô ôcosj Þ

(6.5.3)

Если плоскости параллельны, то угол j между ними равен 0 или p, отсюда следует, что и коллинеарны и мы получим условие параллельности двух плоскостей

A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ (6.5.4)

Еслиj=p¤2, то из формулы (6.5.3) получим условие перпендикулярности двух прямых

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0 (6.5.5)

Замечание: Если выполняется условие A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D_2, то плоскости совпадают.

Дата добавления: 2014-11-29