Обертання

Якщо у способі заміни площин проекцій геометричні образи є зафіксованими у просторі, а до них певним чином проводять нові площини проекцій, то у способі обертання все відбувається навпаки. Основні площини проекцій p₁ та p₂ вважаються зафіксованими у просторі, а геометричні образи обертаються певним чином, щоб перевести їх із загального положення в особливе (окреме) і вигідне для розв’язку поставленої задачі.

Осі обертання інколи задаються в умові задачі, а часом їх треба вибрати самостійно. Якщо є можливість вибору положення осі, то її доцільно розміщувати перпендикулярно до однієї з площин проекцій, що спрощує побудову.

На рисунку 2.40 бачимо, що площина обертання є паралельною до тієї площини проекцій, до якої вісь обертання - перпендикулярна. Завдяки цьому коло, що описує точка А при обертанні в площині обертання, буде проектуватися на одну з площин проекцій у коло, а на дві інші – у відрізок, що дорівнює діаметру кола і лежить на слідах площин обертання.

На перетині площини обертання Σ і осі обертання l дістаємо точку О – центр обертання. Радіус обертання R дорівнює відстані між точками А і О. Побудова епюра зводиться до проведення на площині p₁ кола радіусом R=R₁ з центра О₁ і на площині p₂ відрізка прямої довжиною 2R, який співпадає із слідом Σ₂, паралельним до Х.

Задача 25 Обертанням навколо довільно вибраної осі l, перпендикулярної до площини p₁, визначити дійсну величину відрізка АВ (рис.2.41).

Відомо, що пряма, паралельна до площини проекцій, проектується на цю площину в дійсну величину. Отже, повернувши відрізок АВ у положення, паралельне до площини p₂, дістанемо нову фронтальну проекцію відрізка А₂В ′₂, яка буде його дійсною величиною. Для цього позначаємо необхідні елементи обертання для точки В, виходячи з того, що вісь обертання проходить через точку А і перпендикулярна до p₁. Нове положення точки В ′ ₁ знайдемо за правилами, описаними вище. Нагадаємо, що А₁В ′ ₁=А₁В₁. Проведемо лінію проекційного зв’язку з точки В ′ ₁ до перетину з Σ₂ і знайдемо точку В ′ ₂, яку сполучимо з точкою А₂. Фронтальна проекція А₂В ′ ₂ відрізка АВ після обертання є його дійсною величиною, тобто А₂В ′ ₂=АВ.

	Рисунок 2.41

Задача 26 Знайти дійсну величину трикутника АВС (рис.2.42)

Враховуючи, що вершина трикутника, точка А, лежить у площині p₁, вибираємо вісь обертання l, щоб вона прходила через точку А перпендикулярно до площини p₂. При обертанні трикутника АВС точка А залишається на місці, а точки В і С, обертаючись у площинах, перпендикулярних до l, займуть нове положення В ′ ₁ і С ′ ₁, тобто сумістяться з площиною p₁. Таким чином, після обертання всі три точки А, В, С – вершини трикутника будуть лежати в площині p₁, а отже А₁В ′ ₁С ′ ₁ – дійсна величина трикутника АВС.

	Рисунок 2.42

Задача 27 Повернути довільну площину j до положення фронтально-проекційної площини (рис.2.43).

Рисунок 2.43

Відомо, що фронтально-проекційна площина має горизонтальний слід перпендикулярний до осі проекцій ОХ. Щоб досягти такого положення сліду j₁, вибираємо вісь обертання l так, щоб ваша була перпендикулярна до площини проекцій p₁ і лежала у площині p₂. Тому вона перетинає слід j₂ в точці А, яка залишаєтиься нерухомою і належить новому фронтальному сліду j₂ площини j. У даному випадку можливі два розв’язки: поворот за годинниковою стрілкою і проти.

Розглянуті вище положення і задачі стосуються найпростішого випадку обертання навколо осей, перпендикулярних до будь-якої з площин проекцій. Порівняно складніше обертання навколо осей, паралельних до однієї із площин проекцій, тобто навколо лінії особливого положення – горизонталі або фронталі, або навколо одного із слідів площини, що є нульовою горизонталлю або фронталлю.

Обертання навколо прямої рівня. Цей спосіб застосовується в тих випадках, коли плоску фігуру, відрізок прямої або плоску криву потрібно сумістити з площиною, яка паралельна одній з площин проекцій. Тоді плоска фігура, крива або відрізок прямої будуть проектуватися на відповідну площину проекцій без спотворення.

Задача 28 Знайти дійсну величину трикутника АВС навколо горизонталі (рис. 2.44).

Горизонталь, яка служить віссю обертання, проведення через вершину трикутника А, тому остання під час обертання залишається нерухомою. Другою нерухомою точкою площини трикутника АВС буде точка 1, перетин горизонталі з стороною ВС трикутника.

Зрозуміло, що побудова нового положення площини при обертанні її навколо горизонталі або фронталі зводиться, як і в інших випадках, до обертання окремих точок або прямих, що лежать у даній площині.

На рисунку 2.44,б, в знаходимо нове положення точки С, провівши через неї площину обертання S перпендикулярно до осі обертання, знаходимо дійсну величину радіуса обертання (способом прямокутного трмкутника) і знаходимо С₀. нове положення точки В – В₀ знаходимо в місці перетину траекторії руху точки В (горизонтально проекційна площина d з напрямком нового положення сторони трикутника С₀С₁. З’єднавши АВ₀С₀ – знаходимо дійсну величину трикутника АВС.

	а)		б)
	в)		г)
		Рисунок 2.44

Спосіб суміщення. Суть способу суміщення полягає в тому, що задану площину, обертання навколо одного із її слідів суміщають з відповідною площиною проекцій. При цьому геометричні елементи, які розміщені в заданій площині, проектуються на дану площину проекцій в дійсну величину і зберігають взаємне розміщення.

Спосіб суміщення можна розглядати, як частковий випадок способу обертання площини навколо нульової горизонталі або фронталі.

Якщо площину обертати навколо її горизонтальногот сліду, то площина суміститься з площиною p₁, а якщо навколо фронтального сліду, то площина суміститься з площиною проекцій p₂.

Спосіб суміщення використовують:

· при визначенні дійсної величини і форми геометричних елементів, які лежать у даній площині;

· при побудові проекцій геомнтричних елементів, розміщених у заданій площині за їх заданою величиною і формою (обернена задача).

На рисунку 2.45 показано побудови, які виконуються при суміщенні площини загального положення a з площиною проекцій p ₁. Віссю обертання в даному випадку служить горизонтальний слід a₁ площини a. Якщо сумістити з площиною p ₁ фронтальний слід a₂ площини a, тоді можна буде найти суміщені положення будь-які елементи заданої площини.

Для того, щоб знайти суміщення положення фронтального сліду площини a₀, необхідно взяти будь-яку точку N на a₂ і сумістити цю точку з p₁. Точка N, обетраючись навколо сліду a₁, опише дугу радіусом ОN. Центр кола є точка О. Горизонтальна проекція N₁ точки N буде переміщатися в площині обертання d, по прямій N₁O₁, яка перпендикулярна a₁ і співпадає з точкою N, при суміщенні останньої з площиною p₁ (рис.2.45,а). З креслення видно, що DN₂a_xO=DN₀a_xO, оскільки обидва трикутники прямокутні, мають спільний катет Оa_x і рівні катети N₂O=ОN₀= радіусу кола. Отже, гіпотенузи цих трикутників також рівні a_x N₂=Da_xN₀. Аналогічна побудова і суміщення заданої площини з площиною проекції p₂ з тою різницею, що тепер віссю обертання буде служити фронтальний слід площини, а суміщений горизонтальний слід будується за вибраною точкою на ньому.

Задача 29 Сумістити точку А, що належить площині S з горизонтальною площиною проекцій (рис. 2.46)

За умовою (рис.2.46,а) площина S є горизонтально-проекційною. Кут між S₂ та S₁ дорівнює 90^°. Першим кроком у розв’язанні задачі буде суміщення з p₁ площини S. Кут 90^° між суміщеним слідом S₀ та S₁ збережеться. Другий крок — суміщаємо точку А, яка належить площині. Проведемо у площині S через точку А горизонталь і сумістимо її з p₁. Суміщена проекція горизонталі h₀ пройде паралельно до S₁. Суміщена проекція точки А з горизонтальною площиною проекцій p₁ лежатиме на суміщеній горизонталі h₀ (послідовність побудови показана стрілками).

Задача 30 Задано проекції трикутника АВС, який лежить у площині загального положення (рис.2.47). Знайти дійсну величину трикутника.

Дві вершини трикутника розміщені на слідах площини S (вершина А на сліді S₂, вершина С на сліді S₁). При суміщенні площини S з площиною проекцій p₁ вершина А співпаде із суміщеним слідом S₀ (точка А₀), вершина с залишиться на місці (оскільки вона лежить на горизонтальному сліді, який є віссю обертання); вершина В буде лежати на суміщеній горизонталі, яка проходить через точку в. Всі три суміщені з площиною проекцій p₁, точки А₀В₀С₀ з’єднаємо між собою, як вершини суміщеного трикутника, що спроектується в дійсну величину.

Задача 31 Побудувати проекції кола, яке лежить у площині загального положення (рис.2.48).

Спочатку будуємо суміщену площину j₀ , у ній — коло відповідного радіусу, а потім проекції кола. Проекціями кола, яке розміщене в площині j – загального положення будуть еліпси. Еліпси – проекції кола можна побудувати, якщо матимемо їх осі. Велика вісь 7-3 еліпса – горизонтальною проекцією кола буде паралельна горизонтальному сліду площини, а по величині дорівнює діаметру кола 7₁-3₁; мала вісь 1-5 цього еліпса направлена по лінії найбільшого нахилу площини j. Велика вісь MN еліпса (фронтальної проекції кола) паралельна фронтальному сліду площини і дорівнює діаметру кола, а мала його вісь KL напрямлена перпендикулярно тому же сліду площини. Проекції кінців діаметрів кола, які переходять в осі еліпса, можна найти так само, як визначається проекції будь-якої точки площини за її суміщеним положенням. Так само можна побудувати будь-які проміжні точки заданих вище еліпсів.

Задача 32 Побудувати проекції піраміди висотою Н, яка лежить своєю основою у площині t, за суміщеними слідом t₀ і основою А₀В₀С₀ (рис 2.49).

Побудову почнемо з того побудуємо фронтальний слід площини t₂. Вибиремо довільну точку на t₀ і піднімемо її у фронтальну площину за допомогою горизонтально-проекційної площини d (побудову показано стрілкою). Потім знаходимо точку О – основу висоти піраміди, яка лежить на перетині висот трикутника А₀В₀С₀ і також піднімемо в площину t. З точки О(О₂;О₁) будуємо проекції висоти піраміди, для цього проводимо перпендикуляри до слідів площини t₁ і t₂. Ограничимо цей перпендикуляр у будь-якій точці Е і методом прямокутного трикутника знайдемо справжню величину ОЕ. На справжній величині відкладаємо величину Н (висота піраміди) і знаходимо проекції S₂ і S₁. Вершину S(S₂,S₁) з’єднуємо з вершинами основи А(А₂А₁); В(В₂В₁); С(С₂С₁), одержимо проекції шуканої піраміди.

	Рисунок 2.49

2.3.3 Плоско-паралельне переміщення

Плоско-паралельне переміщення є способом обертання навколо осей – проекційних прямих, які не визначені на епюрі. Здійснюючи плоско-паралельне переміщення геометричної фігури відносно площин проекцій, виходимо з того, що всі точки фігури, змінюючи своє положення у просторі, переміщаються в площинах, паралельних між собою і паралельних до однієї з площин проекцій.

Задача 3 Знайти дійсну величину трикутника АВС методом плоско-паралельного переміщення (рис.2.50).

Трикутник АВС в умові задачі є горизонтально-проекцйною площиною. Для того, щоб знайти його дійсну величину, необхідно поставити трикутник у положення, паралельне площині проекцій p₂. Для цього виконаємо плоско-паралельне переміщення трикутника АВС вправо на вільне місце, тобто повертаємо навколо деякої уявної осі, перпендикулярної до площини П₁. Перенесемо горизонтальну проекцію трикутника АВС на нове місце, вигідне для побудови, не змінюючи величини і форми проекції, у даному випадку – прямої А₁С₁. Нове зображення А ′ ₁В ′ ₁С ′ ₁ трикутника розміщуємо в положення, паралельне до осі ОХ, тобто площина трикутника стає фронтальною площиною. Побудована нова фронтальна проекція трикутника і буде його дійсною величиною. При переміщенні вершини трикутника переміщаються в уявних площинах обертання Σ, Δ, α паралельних між собою і паралельних площині p₁. Таким чином, висоти точок А, В, С (координати Z_А, Z_В, Z_С) при переміщенні їх у нове положення залишаються незмінними.

Задача 34 Відрізку АВ надати положення горизонтально-проекційної прямої (рис.2.51).

У даному випадку розв’язок задачі буде здійснюватися двома переміщеннями. Спочатку розташуємо відрізок у положення, паралельне до площини p₂, виконавши горизонтальне переміщення. Для цього горизонтальну проекцію А₁В₁ відрізка розміщуємо в новому місці А ′ ₁В ′ ₁ паралельно осі ОХ, не змінюючи величини проекції. Нова фронтальна проекція А ′ ₂В ′ ₂ – дійсна величина відрізка АВ. Фронтальним переміщенням переносимо фронтальну проекцію А ′ ₂В ′ ₂ у нове положення А ′′ ₂В ′′ ₂ перпендикулярно до осі ОХ, зберігаючи величину проекції. Тоді нова горизонтальна проекція перетвориться в точку А ′′ ₁ =В ′′ ₁. Отже, відрізок АВ після другого переміщення стане перпендикулярним до p₁.

	Рисунок 2.51

У способі заміни площин проекцій наявність осуй проекцій — обов’язкова, тому що від них здійснюється відлік відстаней, а у способі плоско-паралельного переміщення осі можна не фіксувати, бо вони не впливають на одержані результати.

Задача 35 Знайти дійсну величину трикутника АВС (рис.2.52)

У даному випадку трикутник АВС є площиною довільного положення. Поставимо його у проекційне положення. За допомогою проведеної горизонталі С₁ повернемо його навколо вертикальної невиявленої осі так, щоб горизонталі розташувалися перпендикулярно до площини проекцій p₂. При такому положенні горизонталь спроектується у точку, а весь трикутник — у лінію А₂'В₂'С₂'. Нарешті, розташуємо лінійну проекцію А₂'В₂'С₂' паралельно площині проекцій p₁, при цьому відбуваєтьбся обертання трикутника АВС навколо фронтально-проектуючої невидимої осі. Трикутник А₁''В₁''С₁'' є дійсною величиною трикутника АВС.

Рисунок 2.52

Задача 36 Способом полоскопаралельного переміщення знайти дісну величину двогранного кута між двома трикутниками зі спільним ребром АВ (рис.2.53)

Першим кроком буде поворот навколо вертикальної невиявленої осі двогранного кута так, щоб ребро АВ було паралельним фронтальній площині проекцій p₂ і спроектувалося у дійсну величину. Другим кроком буде поворот навколо невиявленої фронтально-проекційної осі. Двогранний кут розташується таким чином, щоб його спільне ребро стало вертикальним, тоді воно спроектується на p₁ у точку.Двогранний кут при цьому спроектується у дійсну величину.

Рисунок 2.53

ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1 Чим зумовлюється необхідність перетворення проекцій?

2 Назвіть способи перетворення проекцій та їх суть.

3 Які основні задачі можна розв’язати за допомогою перетворення проекцій?

4 Чому при заміні площин проекцій зберігається взаємна перпендикулярність площин проекцій нової і старої системи?

5 Яке положення повинна займати плоска фігура, щоб визначити її дійсну величину заміною однієї площини проекцій? Двох площин?

6 Задайтесь координатами вершин довільного трикутника АВС і точки D поза трикутником. Визначте відстань від точки D до площини трикутника.

7 Визначте відстаньодним із методів перетворення проекцій:

а) від точки до прямої довільного положення;

б) між двома паралельними прямими довільного положення;

в) між двома мимобіжними прямими.

8 Назвіть елементи обертання та їх призначення.

9 Яке положення може мати вісь обертання і як це позначається на складності розв’язку задач?

10 Які переваги і чому має спосіб плоско-паралельного переміщення?

11 Способом плоско-паралельного переміщення:

a) визначте відстань між двома паралельними прямими загального положення;

б) знайдіть центр кола, описаного навколо довільного трикутника.

12. Як розташовується площина обертання точки відносно осі обертання?

а) паралельно осі обертання;

б) перпендикулярно до осі обертання;

в)під довільним кутом до осі обертання.

13. У якій площині обертається точка, якщо вона обертається навколо горизонтально-проекційної осі?

а) у горизонтальній площині

б) у фронтальній площині;

в) у горизонтально-проекційній площині;

г) у фронтально-проекційній площині.

14. У якій площині обертається точка, якщо вона обертається навколо фронтальної осі?

а) у горизонтальній площині;

б) у фронтальній площині;

в) у горизонтально-проекційній площині;

г) у фронтально-проекційній площині.

15. На якому епюрі правильно розпочато переведення горизонтального відрізка АВ 1 (А₁В₁,1А₂В₂) у проекційне положення способом плоскопаралельного переміщення?

16. Який відрізок і як його треба розташувати при плоско- паралельному переміщенні, щоб трикутник ABC перевести у фронтально-проекційне положення?

	а) А1В1 перпендикулярно до осі проекцій;
б) А1C1 перпендикулярно до осі проекцій;
в) А1С1 паралельно осі проекцій;
г) В1С1 перпендикулярно до осі проекцій.

17. На якому епюрі правильно розпочато переведення площини, заданої трикутником ABC (A₁B₁C₁, А₂В₂С₂), у проекційне положення способом плоскопаралельного переміщення?

18. Як розташовується суміщена горизонталь площини при суміщенні останньої з горизонтальною площиною проекцій?

а) паралельно суміщеному фронтальному слідові площини;

б) паралельно горизонтальному слідові площини;

в) паралельно осі проекцій.

19. Як розташовується суміщена фронталь площини при суміщенні останньої з фронтальною площиною проекцій?

а) паралельно суміщеному горизонтальному слідові площини;

б) паралельно фронтальному слідові площини;

в) паралельно осі проекцій.

20. На якому епюрі правильно побудоване суміщене з горизонтальною площиною проекцій положення точки А(А₁А₂), яка належить горизонтально-проекційній площині, заданій слідами?

21. На якому епюрі правильно побудоване суміщене з фронтальною площиною проекцій положення точки D(D_l,D₂), яка належить фронтально-проекційній площині, заданій слідами?

22. На якому епюрі правильно побудоване суміщене з горизонтальною площиною проекцій положення точки В(В₁,В₂), яка належить площині загального положення, заданій слідами?

Дата добавления: 2014-12-16