Множинні коефіцієнти детермінації і кореляції

Варіація пояснюваної змінної навколо свого вибіркового середнього значення може бути розкладена на:

• варіацію теоретичних (розрахункових) значень навколо ;

• варіацію теоретичних значень навколо фактичних .

Як і у випадку простої вибіркової регресії можемо записати:

, (4.37)

де - сума квадратів відхилень пояснюваної змінної від середньої;

- сума квадратів відхилень, обумовлена рівнянням регресії;

- сума квадратів залишків (характеризує вплив неврахованих факторів).

. (4.38)

. (4.39)

. (4.40)

Характеристики і формули дисперсійного аналізу множинної регресії подані у табл.4.3.

Таблиця 4.3

Джерело варіації	Суми квадратів	Ступені вільності	Середні квадрати
Модель
Залишки (помилки)
Загальна варіація

Для розглянутого вище прикладу 4.1 (п.4.3, 4.4) отримаємо:

;

;

.

Коефіцієнт детермінації рівний частці варіації, зумовленої регресією (поясненої рівнянням регресії) і обчислюється згідно формули:

. (4.41)

Коефіцієнт детермінації, обчислений з урахуванням поправки на ступені вільності, називають скоригованим коефіцієнтом детермінації:

. (4.42)

Коефіцієнт детермінації обчислюють без врахування ступенів вільності і при включенні до моделі нових пояснюючих змінних ніколи не зменшується, але така його характеристика не обов’язково свідчить про покращення якості моделі ( є не спадною функцією від кількості факторних ознак).

При обчисленні скоригованого коефіцієнта детермінації використовують незміщені оцінки дисперсії з урахуванням числа ступенів вільності, тому при уведенні до моделі нових пояснювальних змінних, які не мають істотного впливу на пояснювану змінну, його значення може зменшуватися. Чим більша кількість пояснювальних змінних входить до моделі, тим меншим є значення у порівнянні з . Разом з тим, потрібно зауважити, що навіть збільшення скоригованого коефіцієнта детермінації за умови залучення до моделі нової пояснювалої змінної не гарантує, що відповідний коефіцієнт регресії буде статистично значущим.

Аналізуючи зв’язок між продуктивністю праці в бригаді і плинністю робочої сили і фондоозброєністю (приклад 4.1, п.4.3) знаходимо:

.

Можна зробити висновок, що 98,17% усіх відхилень залежної змінної пояснюється побудованим рівнянням регресії.

Відповідно скоригований коефіцієнт детермінації буде становити:

.

Значення і змінюються в межах від 0 до 1, причому, чим ці значення ближчі до 1, тим в більшій мірі варіація пояснюваної змінної визначається варіацією пояснювальних змінних.

Величина характеризує щільність зв’язку між пояснювальними і пояснюваною змінними і носить назву нескорригованого множинного коефіцієнта кореляції.

Допустимо, що розрахована матриця парних вибіркових коефіцієнтів кореляції:

, (4.43)

де - парні коефіцієнти кореляції між залежною змінною і незалежною змінною , а - парні коефіцієнти кореляції між незалежними змінними і .

Величину

, (4.44)

де - алгебраїчне доповнення до елемента матриці , що лежить на перетині -ої стрічки та -го стовпця, а і - алгебраїчні доповнення до відповідних діагональних елементів, називають частинним коефіцієнтом кореляції.

Частинний коефіцієнт кореляції характеризує щільність зв’язку між двома ознаками за умови фіксованого значення інших змінних, які вважаються константами.

Як і звичайний парний коефіцієнт кореляції, частинний коефіцієнт кореляції перебуває в межах [-1; +1]. Відмінність між ними полягає у наступному: перший - характеризує зв’язок між двома змінними без врахування впливу інших змінних, а другий – враховує наявність впливу інших ознак.

Дата добавления: 2014-12-16