Тестування значущості і визначення довірчих інтервалів

Тестування адекватності багатофакторної регресійної моделі здійснюють на основі значення коефіцієнта детермінації. З цією метою формулюємо статистичні гіпотези:

• : для генеральної сукупності ;

• : для генеральної сукупності не всі коефіцієнти регресії одночасно рівні 0.

З урахуванням значення розрахункове значення -критерію для тестування значущості рівняння множинної лінійної регресії обчислюють за формулою:

, (4.45)

і порівнюють з критичним (табличним) значенням при заданому рівні значущості і та ступенях вільності ( - кількість незалежних змінних моделі, - обсяг вибірки).

Якщо , то гіпотезу відхиляють і приймають альтернативну - - значущість лінійної множинної регресії статистично підтверджується.

Тестування значущості множинного коефіцієнта кореляції передбачає перевірку таких статистичних гіпотез:

• : множинний коефіцієнт кореляції у генеральній сукупності дорівнює 0;

• : множинний коефіцієнт кореляції у генеральній сукупності відмінний від 0.

Критерій значущості множинного коефіцієнта кореляції можна записати у вигляді:

. (4.46)

Якщо розрахункове значення (4.46) перевищує - критичне значення t -розподілу Стьюдента при заданому рівні значущості і ступені вільності, то множинний коефіцієнт кореляції вважають статистично значущим.

Аналогічно, частинний коефіцієнт кореляції вважається статистично значущим, якщо фактичне значення t- статистики

(4.47)

перевищує критичне для вибраного і ступенів вільності.

Згідно прийнятого припущення, випадкова величина є нормально розподіленою з нульовим математичним сподіванням і постійною дисперсією . Тоді кожний елемент вектора оцінок В моделі множинної лінійної регресії відповідає нормальному закону розподілу:

~ . (4.48)

Дисперсія невідома, тому потрібно замінити її оцінкою , яка розраховується виходячи із (4.33). При цьому кожний елемент вектора відповідатиме t -розподілу Стьюдента з ступенями вільності, що дає підставу використати його для тестування гіпотези щодо значущості коефіцієнтів рівняння регресії і побудови їхніх інтервалів довіри.

Сформулюємо статистичні гіпотези (нульову і альтернативну):

• : для генеральної сукупності виконується умова ;

• : для генеральної сукупності виконується .

На рівні значущості нульова гіпотеза відхиляється, якщо має місце:

, (4.49)

де .

Статистична незначущість коефіцієнта регресії вказує на ту обставину, що на основі вибірки, використаної для побудови рівняння регресії, не можна гарантувати надійні показники впливу відповідної пояснювальної змінної на пояснювану змінну.

У загальному випадку нульова гіпотеза про рівність відхиляється, якщо

. (4.50)

З урахуванням (4.50), довірчий інтервал для параметра має такі межі:

(4.51)

Використовуючи співвідношення (4.45), (4.46) і (4.49), перевіримо статистичну значущість побудованої вище економетричної моделі, яка описує залежність між продуктивністю праці у бригаді і факторами, що її обумовлюють:

; ; ;

; .

З таблиць F -розподілу і t -розподілу для рівня значущості відповідно знаходимо:

;

.

Порівнюючи розрахункові і критичні значення критеріїв, можна зробити такі статистичні висновки:

• модель є адекватною;

• коефіцієнт кореляції є статистично значущим;

• всі коефіцієнти рівняння регресії є статистично значущими.

При дослідженні інтенсивності впливу факторних ознак на результативний показник потрібно враховувати те, що коефіцієнти регресії в (4.5) не завжди можна порівнювати між собою, так як їх числові значення залежать від вибраних одиниць вимірювання факторів. З метою встановлення порівняльної сили впливу кожної пояснювальної змінної на пояснювану змінну рівняння регресії представляють у стандартизованому вигляді.

Для того, щоб коефіцієнти рівняння регресії стали порівнюваними, всі змінні виражають в безрозмірних (стандартизованих) одиницях виміру за допомогою співвідношень:

, (4.52)

, (4.53)

де - стандартизована (нормалізована) пояснювана змінна;

- стандартизовані пояснювальні змінні;

і - відповідно середні значення пояснюваної і j -ої пояснювальної змінної;

і - середньоквадратичні відхилення змінних.

Вільний член у стандартизованому рівнянні лінійної множинної регресії відсутній, тобто вибіркову модель у стандартизованій формі можна записати:

, (4.54)

де - оцінене значення параметра регресії.

Коефіцієнти носять назву коефіцієнтів регресії у стандартизованому масштабі, а для їх оцінювання можна застосувати 1МНК. Перехід від коефіцієнтів до проводять згідно співвідношення:

. (4.55)

Чим більшим за абсолютною величиною є значення , тим відчутнішим є вплив j -ої пояснювальної змінної на результат.

Для побудови економетричної моделі у стандартизованій формі, яка описує залежність між продуктивністю праці в бригаді і вибраними чинниками (приклад 4.1), попередньо обчислимо величини:

; ; .

; ; .

Згідно (4.52) знаходимо стандартизовані значення змінних:

Застосовуємо 1МНК для стандартизованих змінних і отримуємо рівняння регресії у стандартизованій формі:

.

Дата добавления: 2014-12-16