Обобщенные свойства логарифмов

Пусть и выражения с переменной. Тогда:

3^*) , где ;

4^*) , где ;

5^*) , где ;

6^*) , где

Замечание 1. Следует различать произведение логарифмов и повторный логарифм , .

Замечание 2. Степень логарифма может быть записана двумя способами:

или .

Логарифмированием называется операция нахождения логарифма числа или выражения.

Потенцированием называют действие, обратное логарифмированию, т.е. потенцирование – это операция нахождения числа (выражения) по его логарифму. При выполнении этих операций пользуются свойствами логарифмов.

Пример 1. Упростить выражение: .

Решение. Преобразуем каждое слагаемое отдельно. При этом сделаем ссылку на конкретные свойства логарифмов, приведенные выше.

|используем свойство 9| |по свойству 5|= = |по основному логарифмическому тождеству| = .

|по свойству 10| ,

тогда .

|по свойству 5| =

= |по свойству 2| = .

|по свойству 8| = .

Таким образом:

.

Замечание 1. Решение этого примера при одновременном преобразовании всех слагаемых (что и следует делать) выглядит так:

Ответ: 5.

Пример 2. Вычислить: .

Решение. Для преобразования первого и второго слагаемых используем формулу изменения основания логарифма (свойство 9), а затем свойства 3 и 5.

= |по свойствам 5 и 2|=

=

.

Для преобразования третьего слагаемого используем свойства 3 – 5:

Тогда получаем

.

Ответ: 30,5.

Замечание 2. Подробное описание решения и преобразование всех слагаемых отдельно сделано из соображений доступности объяснений. Целесообразно делать преобразования всего выражения сразу, аналогично тому, как сделано в замечании 1.

Пример 3. Прологарифмировать по основанию 10 выражение

.

Решение. Замечаем, что сделать это можно, если . Тогда

Пример 4. Выполнить потенцирование выражения

.

Решение. Используем свойства логарифмов 3 – 5 («справа-налево»)

Получаем ответ: .

Пример 5. Выразить через и .

Решение.

Ответ: .

Задания

Дата добавления: 2014-12-16