Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Типы показательно-степенных уравнений и способы их решения




Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с неизвестной x.

I тип:

. (6)

Решение уравнения (6) на ОДЗ сводится к решению совокупности

II тип:

. (7)

Решение уравнения (7) на ОДЗ сводится к решению совокупности

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Способ 1. Имеем уравнение типа (2). Решаем логарифмированием по основанию 3. Получаем

, т.е. . Приходим к линейному уравнению , откуда .

Способ 2. Преобразуем правую часть при помощи основного логарифмического тождества: .

Получили уравнение типа (4), которое решаем по свойству равенства степеней:

.

Пришли к ответу: .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Выполним необходимые преобразования; сведем показательные выражения к одному и тому же основанию 3.

По свойству степеней , .

Получаем ответ: .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем уравнение

Имеем квадратное уравнение относительно . Решаем при помощи замены . Получаем

.

Корнями последнего уравнения являются значения .

Возвращаясь к неизвестной x, имеем совокупность:

Первое уравнение совокупности решений не имеет. Решаем второе уравнение:

, т.е. .

Получили ответ: .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Выполним необходимые преобразования

Имеем однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на . Получим:

,

т.е. получили квадратное уравнение относительно . Вводим замену . Тогда

откуда

.

Возвращаемся к старой переменной:

Получили ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. 1 способ. Подбором убеждаемся, что – корень уравнения. Функции (т.е. ) и монотонно возрастают (рис.12). Они имеют единственную общую точку.

 

Рис. 12

Способ 2. Разделим обе части уравнения на . Получим

или .

Заменим . Получим .

При получим основное тригонометрическое тождество. Т.е. является корнем исходного уравнения.

Получили ответ: .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ: x = 2, 3, …, n, ….

Перепишем уравнение в виде

.

Разделим обе части уравнения на (т.к. ). Получим:

.

Вводим замену . Получаем квадратное уравнение , откуда .

Возвращаемся к старой переменной:

Но ни один из корней не подходит по ОДЗ. Следовательно, уравнение корней не имеет.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ: x ¹ 2.

.

Решением является совокупность

Корень x = 2 не подходит по ОДЗ.

Получили ответ: x = 1, x = 3.

Задания

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 1178; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.