Уравнения неразрывности

Вывод основных гидродинамических уравнений начнём с вывода уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения в гидродинамике.

Математическое описание состояния движущейся жидкости осуществляется с помощью функций, определяющих распределение скоростей и каких-либо двух термодинамических величин, например, - давления и - плотности.

Скорость, давление и плотность жидкости будем относить к данным точкам пространства, а не к определённым частицам жидкости, передвигающимся во времени и в пространстве. То есть будем пользоваться переменными Эйлера.

Вектор по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по внешней нормали к ней. Тогда положительно, если жидкость вытекает из объёма, и отрицательно, если жидкость втекает в него.

Полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из объёма Vo

.

где S - поверхность, ограничивающая выделенный объём Vo.

С другой стороны, уменьшение количества жидкости в объёме Vo можно записать в виде

.

Приравнивая оба выражения, получаем:

.

Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объёму

.

Таким образом,

.

Поскольку это равенство должно иметь место для любого выделенного объёма, то должно быть равным нулю подынтегральное выражение, т.е.

.

Получили уравнение неразрывности.

Расписав выражение можно записать

В декартовых координатах

.

Вектор называют плотностью потока жидкости.

Его направление совпадает с направлением движения жидкости, а абсолютная величина определяет количество жидкости, протекающей в единице времени через единицу площади, расположенной перпендикулярно к скорости.

10. Уравнение свободных гармонических колебаний.

В случае упругих колебаний возвращающая сила F = -kx. Если нет других сил, кроме упругой силы, то колебания называют свободными. Согласно второму закону Ньютона

,
или
.
Разделим оба слагаемых на m:

(7.7)

Последнее соотношение носит название основного уравнения гармонических свободных колебаний. Общее решение этого уравнения имеет вид

,

в чем легко убедиться подстановкой х в исходное дифференциальное уравнение.

Дата добавления: 2014-12-16