Пример расчета

Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

Подобрать по сортаменту двутавровое сечение балки из условия прочности по нормальным напряжениям, если [s] = 160мПа.

Вычислить методом начальных параметров прогиб посередине пролета , если Е = 2×10⁵ МПа, сравнить его с допускаемым и, если нужно, увеличить номер балки, а так же углы поворота на опорах Θ_{z= 0} и Θ_z= и прогиб на конце консоли υ_{z=ℓ+ а} .

Вычислить интегралом Мора по способу Верещагина углы поворота на опорах Θ_z=0 и Θ_z= и прогибы посередине пролета и на конце консоли .

Вычертить изогнутую ось балки (масштаб: длины 1:50, прогиба 1:1).

Выяснить, как следует изменить одну из нагрузок, чтобы:

а) на одной из опор угол поворота сечения стал равным нулю;

б) прогиб конца консоли стал равным нулю.

Определяем опорные реакции:

Проверка

0≡0

Реакции определены правильно.

Таблица 1

Геометрическая фигура	Площадь ω	Координаты центра тяжести
Z'	Z''
	h·ℓ	ℓ/2	ℓ/2
	hℓ/2	ℓ/3	2ℓ/3
квадратичная парабола	hℓ/3	ℓ/4	3ℓ/4
	*2hℓ/3	ℓ/2	ℓ/2
	2hℓ/3	5ℓ/8	3ℓ/8
	ω1=h1ℓ/2 ω2= h2ℓ/2 *ω3= 2h3ℓ/3	ℓ/3 2ℓ/3 ℓ/2	2ℓ/3 ℓ/3 ℓ/2

Примечание: в отмеченных (*) случаях h₃ = h, если равномерно распределенная нагрузка на участке длиной ℓ у балки одинакова.

2. Построение эпюры поперечных сил Q.

1-й и 2-й участок:

Q = RА– qZ	Z
Q	12,5	47,5

Определим координату Z, при которой изгибающий момент на участке 1 будет экстремальным:

4-й участок. Консоль:

Q = P = 20 кН.

3-й участок:

Q = P – R_В = 20 – 67,5 = – 47,5 кН.

3. Построить эпюры изгибающих моментов М.

1 участок	Z		0,625
М		3,90	–15
2 участок	Z
М		7,5

Консоль M = – PZ	Z
М		–40

3 участок М = - PZ + RB(Z – а)	Z
М		–40

Эпюры Q и M показаны на рис. 10б и в.

4. Подбор сечения двутавровой балки из условия прочности при изгибе

Тогда требуемый момент сопротивления

Принимаем двутавр № 24, у которого W_х = 289 см³, J_х = 3460 см⁴.

Действительное нормальное напряжение

Расхождение в процентах

5. Вычисление методом начальных параметров прогибов и углов поворота сечений балки.

Изгибающий момент М(z), угол поворота Θ(z) и прогиб u(z) будут

При составлении уравнения для М(z), считается, что равномерно распределенная нагрузка q действует до конца балки, а на участке, где она отсутствовала, приложена нагрузка q противоположного знака, как это показано пунктиром на рис. 10а.

В нашем примере u₀ = 0, так как начало координат совпадает с опорой А, где прогиб равен нулю.

Θ₀ определим из опорного условия, что прогиб на опоре В равен нулю:

Тогда

6.

Прогиб посередине пролета

7.

Прогиб на конце консоли

8. Угол поворота на опоре В

9. Вычисление перемещений интегралом Мора по способу Верещагина.

Для вычисления перемещений предварительно выполняется разбивка площади грузовой эпюры изгибающих моментов на простые составляющие и строятся эпюры изгибающих моментов от единичной обобщенной силы, приложенной в сечении, где определяется соответствующее перемещение. На этих эпюрах указываются значения изгибающих моментов от единичной обобщенной силы под центром тяжести каждой составляющей площади грузовой эпюры изгибающих моментов. Перечисленные эпюры представлены на рис. 11.

Рис. 11

Составляющие площади грузовой эпюры, представленные на рис. 11а будут:

Прогиб u(ℓ/2) с учетом ординат на рис. 11б будет:

Прогиб u (ℓ+ а) с учетом ординат на рис. 11в будет

Угол поворота на опоре А, Θ₍₀₎, с учетом ординат на рис. 11 г будет:

Угол поворота на опоре В, Θ(ℓ), с учетом ординат на рис. 11д будет:

Результаты расчетов перемещений (углов поворота и прогибов) практически совпадают при расчете метода начальных параметров и с использованием правила Верещагина для вычисления интеграла Максвела-Мора.

Изогнутая ось балки представлена на рис. 10. Как видно из рисунка, она хорошо согласуется с эпюрой изгибающих моментов, представленной на рис. 10в.

10. Исключение угла поворота на опоре А можно добиться, изменив заданный момент М. Величину изменения момента ΔМ можно определить из условия, что при действии дополнительного момента угол поворота будет равен ранее найденному но с обратным знаком.

Тогда

или

Таким образом, чтобы угол поворота на опоре был равен 0, надо изгибающий момент увеличить на 30,5 кНм.

11. Исключение прогиба на конце консоли можно добиться, изменив заданную силу Р. Величину изменения силы ΔР можно определить из условия, что при действии на балку дополнительной силы ΔР прогиб на конце консоли от нее будет равен ранее найденному, но с обратным знаком.

Тогда

или

Таким образом, чтобы прогиб на концах консоли был равен 0 следует силу Р уменьшить на 6,7 кН.

Дата добавления: 2014-12-17