Пример расчета вала на изгиб с кручением

Горизонтальный стальной вал с тремя жестко закрепленными на нем шкивами вращается в подшипниках А и В со скоростью n об/мин посредством приводного ремня, который идет под углом α₁ горизонту и передает на шкив с диаметром D₁ мощность N кВт. Два других шкива передают мощность 0,5N кВт каждый с вала на исполнительные механизмы через их ремни, имеющие один и тот же угол наклона к горизонту а ₂(рис. 20).

Требуется подобрать диаметр вала сплошного круглого попе­речного сечения по результатам его расчета на изгиб с кручением при допускаемом напряжении [σ] = 80 МПа.

Выявить экономию материала от замены сплошного круглого поперечного сечения на кольцевое с отношением внутреннего диа­метра к наружному α = 0,8 по всей длине вала.

Дано: N = 40 кВт, n = 500 об/мин,

α₁ = 60°, α ₂=45°,

D₁ = 1,2m, D₂ =1,1m,

а = 0,2 м, b = 0,4 м, с = 0,3 м.

1. Моменты, приложенные к шкивам

М₁= 9,55 = 9,55 = 0,764 кНм,

М₂= 9,55 = 9,55 = 0,382 кНм,

2. Крутящие моменты в поперечных сечениях вала

I участок 0 < Z <а

М_К = М₂ = 0,382 кНм

II участок а ≤ Z ≤ 2 a + b

М_к = М₂ – М₁ = 0,382 – 0,764 = – 0,382 кНм

Эпюра M_к показана на рис. 21.

СХЕМА ВАЛА ПРИ КРУЧЕНИИ Рис. 20

ЭПЮРА М_к [кНм]

Рис. 21

3. Силы давления шкивов на вал

Т₁ – t₁· = М₁; (2t₁ – t₁) = M₁,

t₁ = = = 1,273 кН,

Т₁ = 2 · 1,273 = 2,546 кН,

t₂ = = = 0,695 кН,

Т₂ = 2t₂ = 2 · 0,695 = 1,389 кН.

Сила давления большого шкива на вал

P₁ = T₁ + t₁ = 2,546 + 1,273 = 3,819 ≈ 3,82 кН.

Сила давления малых шкивов на вал

Р₂ = Т₂ + t ₂ = 1,389 + 0,695 = 2,084 кН ≈ 2,08 кН.

Вертикальные составляющие сил давления шкивов

Р_1В = P1 · sinα₁ = 3,82 · 0,866 = 3,3 кН (вниз),

Р_2В = Р₂ · sinα₂ = 2,08 · 0,707 = 1,473 кН (вниз).

Горизонтальные составляющие сил давления шкивов

Р_1г = Р₁ · cosα₁ = 3,82 · 0,5 = 1,91 кН (влево),

Р_2г = Р₂ · cosα₂ = 2,08 · 0,707 = 1,473 кН (вправо).

4. Расчетная схема вала при изгибе показана на рис. 22а и 22в.

5. Реакции подшипников

В вертикальной плоскости

ΣM_Aj = 0; –R_Вb · 0,7 – 1,47 · 0,4 + 3,31 · 0,2 + 1,47 · 0,4 = 0

R_Bb = 3,31 = 0,95 kH.

ΣM_Bi = 0;

–R_Ав · 0,7 + 1,47 · 0,3 + 3,31 · 0,9 + 1,47 · 1,1 = 0

R_AB =1,47 + 3,31 +1,47 = 0,63 + 4,26 + 2,31 = 7,20 Кн

Проверка:

ΣY = 0; 7,20 – 1,47 – 3,31 – 1,47 – 0,95 = 0

7,20 – 7,20 = 0

В горизонтальной плоскости

ΣМ_Аi = 0;

Рис. 22

0,63 + 2,31 2,46 = 0,48 кН

Проверка ΣY = 0;

0,55 + 0,48 + 1,91 – 1,47 – 1,47 = 0

2,94 – 2,94 = 0

6. Изгибающие моменты

В вертикальной плоскости

в сеч. С М_в = 0, сеч. Д М_в = -1,47 × 2 = -0,294 кН×м,

в сеч. А М_в = -1,47×0,4 - 3,31× 0,2 = -0,588 - 0,662 = -1,250 кН×м,

в сеч. Е М_в = -0,95 × 0,3 = -0,285 кН×м,

в сеч. B М_в = 0

В горизонтальной плоскости

в сеч. С М_г = 0,

в сеч. Д М_г = -1,47×0,2 = -0,294 кН×м,

в сеч. А М_г= -1,47×0,4+1,91×02 = -0,588 + 0,382 = -0,206 кН×м,

в сеч. Е М_г= 0,55 × 0,3 = 0,165 кН×м,

в сеч. В М_г= 0

7. Суммарные изгибающие моменты

в сеч. С

в сеч. Д

кН×м,

в сеч. А

кН×м,

в сеч. Е

кН×м,

в сеч. В .

Эпюры М_ви М_г показаны на рис. 22б, 22г.

8. Результирующая эпюра изгибающих моментов показана на рис. 22д.

9. Расчетный момент

Совместное влияние изгиба и кручения здесь учитывается по третьей теории прочности с помощью следующей формулы для расчетного момента

Из рассмотрения эпюр М_к и М_из следует, что опасным является сечение А, так как в нем изгибающий момент максимален М_из= 1,27 кН×м, а крутящий момент М_к = 0,38 кН×м имеет такую же величину, как и в других сечениях, и значит в этом сечении М_р по приведенной формуле получается максимальным

кН×м

10. Диаметр вала сплошного кругового поперечного сечения

Принимаем диаметр вала d = 60мм.

11. Диаметр вала кольцевого поперечного сечения

Принимаем диаметр d_н = 70 мм, тогда d_в=0,8×70 = 56 мм.

12. Экономия материала при применении полого вала по отношению к сплошному будет

Приложение

Задания к расчетно-графическим работам

ЗАДАНИЕ К РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЕ № 1

по теме “ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ”

Срок выполнения - 4 недели с момента выдачи

ЗАДАЧА 1.1. РАСЧЕТ КРОНШТЕЙНА

1. Подобрать из условия прочности при центральном растяжении-сжатии поперечные сечения стержней кронштейна. Сечение стального стержня принять по сортаменту из двух равнобоких уголков. Деревянный стержень принять квадратного или круглого сечения в соответствии с расчетной схемой, округлив требуемый размер стороны квадрата или диаметра до целых сантиметров. Допускаемые напряжения: для стали [s]_с=90 МПа, для древесины [s]_д= 8 МПа.

2. Определить путем построения плана перемещений истинное линейное перемещение узла, в котором приложена сила Р. Модули упругости для стали Е_с=2·10⁵ МПа, для древесины Е_д= 10⁴ МПа.

Исходные данные принимаются в соответствии с шифром студента, который необходимо получить у преподавателя.

Численные данные к расчету кронштейна определяются по 1-й цифре шифра из следующей таблицы:

Группа	1-я цифра шифра	a cм	b см	Р кН

Расчетная схема кронштейна принимается по 2-й цифре шифра.

ЗАДАЧА 1.2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СИСТЕМЫ

1. Выяснить степень статической неопределимости заданной конструкции.

2. Составить уравнения равновесия.

3. Составить уравнения совместности деформаций.

4. Решить полученную систему уравнений и определить продольные усилия и напряжения в стержнях заданной системы.

При необходимости принять модуль упругости материала стержней Е=2·10⁵ МПа.

Численные данные к расчету статически неопределимой системы принимаются по 1-й цифре шифра из следующей таблицы:

Группа	1-я цифра шифра	Сила Р кН	Нагрев Dt °K	Зазор D мм	a м	b м	Площадь сечения стержня F см^2
					0.5	0.6
				0.5	0.6
			0.4	0.5	0.6
				0.5	0.6
					0.6	0.7
				0.6	0.7
			0.6	0.6	0.7
				0.6	0.7
					0.7	0.8
				0.7	0.8
			0.8	0.7	0.8
				0.7	0.8
					0.8	0.9
				0.8	0.9
			0.8	0.8	0.9
				0.8	0.9

Расчетная схема статически неопределимой конструкции прини-мается по 2-й цифре шифра:

ЗАДАНИЕ К РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЕ № 2

“ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ”

Дата добавления: 2014-12-17