Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

ТЕМА 2. ОДНОРІДНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ.

ВПРАВИ

І Перевірити, чи являються розв’язками даних диференціальних рівнянь указані функції ()

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , .

ІІ Довести, що для даних диференціальних рівнянь указані функції є розв’язком при любому значенні с, і знайти частинні розв’язки, що задовольняють початковим умовам:

1. , , ;

2. , , .

ІІІ Чи являються слідуючи функції

1. , 2. , ,

, . .

розв’язком рівнянь

ІV Знайти значення α, при яких задана функція є розв’язком рівняння:

1. , ; 2. , .

V Знайти загальний розв’язок рівнянь:

1. ; 3. ;

2. ; 4. ; 5.

VІ Знайти частинні розв’язки рівнянь:

1. , якщо у=1 при х=0;

2. , якщо у=0 при х=5;

3. , якщо у=4 при х=0;

4. , якщо у=1 при х=0;

5. , якщо у=1 при х=0;

ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ

Функція називається однорідною функцією n-го виміру відносно змінних та , якщо для довільного числа виконується тотожність

. (1)

Приклад 2.1. ● – однорідна функція другого виміру,

.●

Приклад 2.2. ● – однорідна функція нульового виміру,

.●

Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо функція є однорідною функцією нульового виміру.

Рівняння виду

(2)

буде однорідним тоді і тільки тоді, коли функції і будуть однорідними функціями одного й того самого виміру.

Однорідні рівняння зводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними підстановкою , де – невідома функція.

(3)

Розв’язавши рівняння (3), знайдемо , а потім функцію .

Дата добавления: 2014-12-17