Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

ТЕМА 3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння в повних диференціалах.

ВПРАВИ

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1. Означення однорідної функції n-го виміру.

2. Означення однорідного диференціального рівняння першого порядку.

3. Яка підстановка приводить однорідне диференціальне рівняння до рівняння з відокремлюваними змінними?

4. Рівняння,що зводяться до однорідних.

5. Які підстановки приводять рівняння,що зводяться до однорідних до рівняння з відокремлюваними змінними?

І Розв’язати рівняння:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

ІІ Знайти частинні розв’язки рівнянь:

1. , якщо у=3 при х=1;

2. , якщо у=0 при х=1;

3. , якщо у=1 при х=1;

4. , якщо у=1 при х=1;

5. , якщо у=1 при х=1.

ІІІ Знайти загальний розв’язок рівняння:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називаються рівняння виду:

, (1)

де і задані і неперервні на деякому проміжку функції.

Термін «лінійне рівняння» пояснюється тим, що невідома функція і її похідна входять до рівняння у першому степені, тобто лінійно.

Є кілька методів інтегрування рівняння (1). Один із них (метод Бернуллі) полягає в тому, що розв’язок цього рівняння шукають у вигляді добутку

, (2)

де - невідомі функції , причому одна з цих функцій довільна (але не рівна тотожно нулю).

Знаходячи похідну і підставляючи значення та в рівняння (1), дістанемо:

Користуючись довільністю у виборі функції V(x), доберемо її так, щоб

, (3)

тоді . (4)

Розв’яжемо ці рівняння. Відокремлюючи в рівнянні (3) змінні та інтегруючи, знайдемо його загальний розв’язок:

Візьмемо за V який-небудь частинний розв’язок рівняння (3), наприклад

. (5)

Знаючи функцію V, з рівняння (4) знаходимо функцію U:

(6)

Підставляючи функції (5) і (6) в (2), знаходимо загальний розв’язок рівняння (1):

Дата добавления: 2014-12-17