Рівняння Клеро та Лагранжа

Приклад 4.3.

Приклад 4.2.

Розв’язати рівняння .

● Нехай Далі маємо

Отже, параметричні рівняння шуканих інтегральних кривих мають вигляд:

.

Зокрема, якщо рівняння (4) можна розв’язати відносно : , то за параметр зручно взяти . Справді, якщо , то , тому .

Отже, – параметричні рівняння інтегральних кривих. ●

Розв’язати рівняння .

● Розв’яжемо рівняння відносно і покладемо :

Далі дістанемо: .

Знаходимо параметричні рівняння інтегральних кривих:

.●

3⁰. Нехай рівняння (1) не залежить від :

. (5)

Як і в попередньому випадку, можна ввести параметр і замінити рівняння (5) двома рівняннями:

,

такими, що

Тоді дістанемо .

Отже, інтегральні криві визначаються параметричними рівняннями

.

Зокрема, якщо рівняння (5) легко розв’язується відносно : то за параметр беруть . Тоді звідси .

Рівняння виду

, (6)

де , - відомі функції, називається рівнянням Лагранжа.

Зокрема, якщо , то рівняння (6) набирає вигляду

(7)

і називається рівнянням Клеро.

Введемо параметр , тоді рівняння (6) запишеться так:

(8)

Диференціюючи (8) по , дістанемо:

, (9)

або

звідки (10)

Рівняння (10) є лінійним відносно невідомої функції , яке разом з рівнянням (8) визначають шукані інтегральні криві.

Переходячи до рівняння (10), ми ділили обидві частини рівняння (9) на . При цьому можуть загубитись розв’язки, для яких =0, тобто . Вважаючи сталою, бачимо, що рівняння (9)задовольняється лише в тому випадку, коли є коренем рівняння . Отже, якщо рівняння має дійсні корені , то знайдені вище розв’язки рівняння (6) треба доповнити розв’язками . Якщо ці розв’язки не утворюються з загального ні за яких значень довільної сталої, то вони є особливими розв’язками.

Розглянемо рівняння Клеро. Поклавши , дістанемо

(11)

Диференціюючи рівність (11) по , маємо

або .

Якщо , то , тому з (11) маємо загальний розв’язок рівняння (7):

. (12)

Якщо , то дістанемо частинний розв’язок у параметричній формі:

. (13)

Можна довести, що рівняння (13) – особливий розв’язок рівняння Клеро, а саме, рівняння обвідної сім’ї прямих (12).

Дата добавления: 2014-12-17