Приклад 5.3

Розв’язати рівняння

● Покладемо , тоді і маємо лінійне рівняння першого порядку відносно невідомої функції : . Розв’язавши це рівняння, знайдемо , тоді , звідки ●

2⁰. Розглянемо диференціальне рівняння виду

, (10)

яке не містить явно незалежної змінної .

Рівняння (10) допускають пониження порядку на одиницю. Справді, покладемо , де (на відміну від попереднього випадку) новою невідомою є функція від : , тоді за правилом диференціювання складеної функції маємо:

,

тобто порядок другої похідної понизився на одиницю. Аналогічно дістаємо:

.

Методом індукції можна довести, що порядок усіх наступних похідних також понижується на одиницю.

Таким чином, від рівняння (10) n -го порядку приходимо до рівняння
– гопорядку:

.

Окремим випадком рівняння (10) є рівняння

, (11)

яке підстановкою зводиться до диференціального рівняння першого порядку: .

Дата добавления: 2014-12-17