Диференціальні рівняння, які допускають пониження порядку

Приклад 5.2.

Розв’язати рівняння .

● Маємо:

Отже, загальний розв’язок даного рівняння у параметричній формі має вигляд

. ●

Одним з методів розв’язування диференціальних рівнянь вищих порядків є метод пониження порядку. Суть його полягає в тому, що за допомогою відповідної змінної дане диференціальне рівняння зводиться до рівняння нижчого порядку.

Розглянемо два типи диференціальних рівнянь, які допускають пониження порядку.

1⁰. Нехай задано диференціальне рівняння виду

, (9)

яке не містить явно шуканої функції. Порядок такого рівняння можна понизити, якщо за нову невідому функцію взяти найнижчу із похідних даного рівняння, тобто покласти , тоді , тому дістаємо рівняння

.

Таким чином, порядок рівняння понижується на одиниць. Окремим випадком рівняння (9) є рівняння

,

яке за допомогою нової змінної зводиться до рівняння першого порядку:

Якщо для цього рівняння вдається знайти загальний розв’язок то приходимо до рівняння виду (5), яке інтегрується в квадратурах.

Дата добавления: 2014-12-17