Неперервні випадкові величини

Неперервною називається випадкова величина, що може приймати будь-які значення з деякого проміжку. Інтегральна функція неперервної випадкової величини є неперервною функцією. Неперервні випадкові величини можна задавати також за допомогою диференціальної функції. Диференціальною функцією або щільністю розподілу (щільністю ймовірностей) називається похідна від інтегральної функції:

(8.3.1)

Властивості диференціальної функції розподілу:

· , (8.3.2)

· , (8.3.3)

· , (8.3.4)

· (8.3.5)

(зв'язок між диференціальною й інтегральною функціями).

Математичним сподіванням неперервної випадкової величини називається невласний інтеграл

, (8.3.6)

де – диференціальна функція. Якщо випадкова величина , то .

Дисперсіюнеперервної випадкової величини можна обчислити за формулою:

, (8.3.7)

причому якщо , то .

Приклад 8.3.1. Інтегральну функцію розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини задано формулою:

Знайти: а) коефіцієнт с, б) диференціальну функцію , в) , , , г) ймовірність попадання випадкової величини в інтервал ; д) побудувати графіки функцій і .

Розв’язання. а), б) Знайдемо диференціальну функцію за формулою (8.3.1):

Коефіцієнт с визначаємо з умови (8.3.3), тобто , значить, , отже інтегральна і диференціальна функції набувають вигляду: , .

в) Знайдемо математичне сподівання випадкової величини та випадкової величини за формулою (8.3.6):

.

Тоді дисперсія за формулою (8.2.9) , середнє квадратичне відхилення за (8.2.14): .

г) ймовірність попадання випадкової величини в інтервал знайдемо за допомогою інтегральної функції й формули (8.2.4):

.

Цю ж ймовірність можна обчислити за допомогою диференціальної функції й формули (8.3.4): .

д) графіки диференціальної й інтегральної функції мають вигляд:

Рис. 8.3.1 – Графік диференціальної функції

Рис. 8.3.2 – Графік інтегральної функції розподілу

Література: [1, с. 526 ‑ 529], [4, с. 529 – 559], [16], [18], [20].

Дата добавления: 2014-12-17