Понятие предела функции

Рассмотрев понятие предела применительно к числовой последовательности т.е. К функции натурального аргумента, перейдем к выяснению аргумента.

(По Гейне). Если для любой последовательности значений x: x1, x2, …,Xn,..., входящих в область определения функции и сходящихся к а, но отличных от а, соответствующая последовательность значения функции F(x):F1(x),F2(x),..., Fn(x),... сходится и притом всегда к одному и тому же числу А, то говорят, что функция f(x) стремится к А при х, стремящемся к а, а число А называют пределом функции f(x) в точке а, или её предельным значением в этой точке. (Число А называется пределом функции f(x) при x a, если из условия Xn=a(Xn≠ a) всегда следует равенство F(Xn)= A.)

Поскольку предельная точка а может и не принадлежать области определения функции F(x), то функция F(x) при этом может быть и не определена в самой точке а.

(По Кюши). Число А называется пределом функции F(x) при x, стремящемся к а(или в точке а), если для любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа e можно найти такое положительное число Q, что для всех значений х, входящих в область определения функции, отличных от а(|x-a|>0) и удовлетворяющих условию |x-a|<Q, имеет место неравенство |F(x) -A|<е (Число А называют пределом функции F(x) при → a, если выполнение неравенства 0<|x-a|<Q влечет за собой выполнение неравенства |f(x) -A|<e, где e>0 наперёд задано, а q>0 соответствующим образом подобрано по нему).

Следует обратить внимание на то, что в определениях предела функции по Гейне и Кюши не требуется, чтобы функция f(x) была определена в точке а. Но в обоих определениях требуется, чтобы точка а была предельной для области определения функции f(x) и, значит, если некоторая точка не является таковой, то нельзя и ставить вопрос о пределе функции в этой точке(в смысле указанных определений).

Дата добавления: 2014-12-17