Основные свойства пределов. Первый и второй замечательные пределы

Еще в школьном курсе математики были получены основные свойства пределов:

1. Предел постоянной величины x=с есть само число с.

Lim c = c.

2. Пусть x, y, …, z - конечное число переменных величин, каждая из которых имеет конечный предел. Тогда верны следующие утверждения:

а) их алгебраическая сумма (т.е. сумма или разность) также имеет предел u.

lim (x ± y ± … ± z) = limx ± limy ± … ± lim z;

б) их произведение также имеет предел

lim (x ^. y ^. … z) = limx ^. limy ^. … ^. limz.

3. Если существуют пределы переменных величин u и ф, причем limф≠0,

4. То существует предел частного этих переменных

lim =

Доказательство этих свойств см.[1], стр. 43 – 44 (они носят название, соответственно, теоремы о предела суммы, разности, произведения и частного.). Все свойства пределов справедливы и для случая, когда в качестве переменных величин берутся функции. Свойства пределов облегчают их вычисление.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найди предел функции

y = при x → 1

Решение. Воспользуемся свойствами пределов и найдем отдельно пределы числителя и знаменателя:

5 ^. 1 – 4 ^. 1 – 2 = 3

(3x² + x – 3) = 3x² + x - 3 = 3^. 1 + 1 – 3 = 1

Применяя свойство 3, получим предел дроби:

y = = = 3

В этом примере непосредственное применение свойств пределов сразу привело нас к цели – мы получили конечный предел.

Однако на практике такие случаи встречаются крайне редко, а потому, прежде чем применять теоремы о пределах, приходится тождественно преобразовывать данную функцию. Покажем, как это делается на конкретных примерах.

Примеры вычисления предела функции.

1) lim_x→2(5x³3-6x²+x-5)=5*2³-6*2²+2-5=5*8-24-3=40-27=13;

2) lim_x→2

3) lim_x→2

4) lim_x→0 lim_x→0 lim_x→0

5) 8x³-1 разложим на множители по формуле a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

4x²-1 по формуле a²-b²=(a-b)(a+b)

8x³-1=(2x-1)(4x²+2x+1);

4x²-1=(2x-1)(2x+1);

Глава 2 Производная

Дата добавления: 2014-12-17