Правила дифференцирования

I. Примеры вычисления

Примеры

Пусть . Тогда

Пусть. Тогда если то

где обозначает функцию знака. Если то а следовательно не существует.

№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7

№8

№9

№10

№11

№12

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

Если функция задана параметрических:

Дифференцирование сложной функции:

Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):

где — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

если функция дифференцируема на интервале , то она непрерывна на интервале . Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция на );

если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном , то (это так называемая лемма Ферма);

производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.

Таблица производных некоторых функций

Функция	Производная	Примечания
		Доказательство: Фиксируем , придадим приращение аргументу . Вычислим приращение функции: , т.о
		Доказательство: Фиксируем , придадим приращение аргументу . Вычислим приращение функции: , т.о

_{Глава 3 «Неопределённый интеграл»}

_{Неопределённый интеграл для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.}

_{Если функция определена и непрерывна на промежутке и — её первообразная, то есть при , то}

_,

_{где С — произвольная постоянная.}

_{Если , то и , где — произвольная функция, имеющая непрерывную производную.}

_{Подведение под знак дифференциала}

_{При подведении под знак дифференциала используются следующие свойства:}

_{Основные методы интегрирования}

1. _{Метод введения нового аргумента. Если}

то

где — непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

то

3 Метод подстановки. Если — непрерывна, то, полагая

где непрерывна вместе со своей производной , получим

4 Метод интегрирования по частям. Если и — некоторые дифференцируемые функции от , то

Таблица основных неопределённых интегралов

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем непрерывную первообразную.

Дата добавления: 2014-12-17