Механическая аналогия

Тока.

Математическая формулировка принципа непрерывности

Обратимся теперь к математической формулировке принципа непрерывности электрического тока. Рассмотрим какую-либо совер­шенно произвольную замкнутую поверхность s и выведем выраже­ние для величины полного электрического тока сквозь эту поверх­ность. Взяв производные по времени от обеих половин основного соотношения, выражающего теорему Максвелла в применении к данной поверхности, мы получим:

или

1ак как есть нормальная составляющая плотности тока электрического смещения сквозь поверхность, то обозначим ее через J_D cosa, где a есть угол, образуемый вектором тока смещения с внешнею нормалью. Тогда имеем

Выражение (32) определяет собою величину полного тока смеще­ния сквозь рассматриваемую замкнутую поверхность. То обстоятельство, что этот ток равен dQ/dt, т. е. скорости изменения пол­ного количества электричества внутри замкнутой поверхности, свиде­тельствует о существовании в нашей системе еще других токов, кроме тока смещения. Действительно, количество электричества О может изменяться не самопроизвольно, а только в связи с тем, что на ряду с током смещения сквозь поверхность, т. е. токами упру­гой деформации, обусловливаемыми изменением этой деформации в диэлектрике, сквозь ту же поверхность снаружи внутрь или из­нутри наружу проходят еще электрические токи другого рода. Таковыми могут быть, во-первых, ток проводниковый, некоторым образом распределенный по поверхности, и, во-вторых, так назы­ваемый конвекционный ток, т. е. ток переноса, состоящий в непо­средственном пронесении зарядов, например, в виде газовых ионов, электронов или просто путем движения каких-либо иных тел, за­ряженных электричеством того или иного знака. На основании из­ложенного можем написать:

где J_r — плотность проводникового тока, b— угол, составляемый направлением этого тока с внутренней нормалью в данной точке поверхности, J_k — плотность конвекционного тока и g'—соответствующий ему угол. В данной случае мы имеем в виду вну­треннюю нормаль к поверхности, ибо речь идет о токах, которые должны покрыть изменения Q, связанные с токами смещения, рас­сматриваемыми нами, согласно условию, в направлении внешней нормали. Иными словами, токи проводниковый и конвекционный текут сквозь поверхность, в общем обратно току смещения. При­нимая во внимание (32), можем написать:

Если мы теперь возьмем, вместо углов b' и g', углы b и g, об­разованные соответствующими токами с внешней нормалью к данной поверхности s, то знаки перед интегралами правой части равенства изменятся на обратные, так как:

cosb'=cos(180°-b),

cosg'=cos(180°-g).

Таким образом, получаем:

Мы получили математическое выражение принципа непрерыв­ности электрического тока, указывающее, что сумма всех токов сквозь замкнутую поверхность равна нулю, т. е. электричество ведет себя в некотором замкнутом пространстве как несжимаемая жидкость (см. § 47). Полученное выражение можно преобразовать, объединив все выражения под знаком одного интеграла, т. е. на­писав:

В скобках заключена сумма проекций некоторых векторов на направление внешней нормали. Эту сумму можно заменить проекцией результирующего вектора на то же направление. Обозначим плотность результирующего тока через J и угол, образуемый им с внеш­ней нормалью, через 8. В таком случае можем написать:

н окончательно имеем:

Выражение (34), являющееся математической формулировкой принципа непрерывности электрического тока, гласит, следовательно, что полный электрический ток сквозь любую замкнутую поверх­ность всегда равен нулю.

Остановимся теперь на одной простой механической схеме с целью лучшего уяснения принципа замкнутости тока, а также для того, чтобы наглядно показать значение введенного Максвеллом в науку представления об электрическом смещении как об упругой деформации.

Рассмотрим некоторый цилиндр К (рис. 110) с поршнем Р, периодически двигающимся вперед и назад благодаря соответству­ющему механическому устройству. При посредстве труб T ₁ и Т ₂ цилиндр этот соединяется с двумя резервуарами, М и N, как пока­зано на рисунке. Допустим теперь, что цилиндр, соединительные трубы и нижние части резервуаров наполнены ка­кой-нибудь жидкостью, на­пример, водою; остаю­щиеся же части резер­вуаров заполнены возду­хом. Очевидно, что в за­висимости от направления движения поршня Р в ци­линдре К в жидкости, за­полняющей цилиндр, будут возникать известные дав­ления, совокупность кото­рых мы можем, аналогии ради, назвать „вододвижущей силой", так как они действительно являются непосредственной причиной, приводящей в движение воду в нашей системе. Именно, периодические движения поршня будут сопровождаться соответствующими токами жидкости в тру­бах Т ₁и Т ₂, причем в резервуарах М и N уровни жидкости будут то повышаться, то понижаться, в зависимости от направления тока жидкости в трубах. Ясно, конечно, что в данном случае, если только мы можем пренебречь сжимаемостью жидкости и дефор­мированием всех стенок нашей системы, резервуаров и труб, в резервуар М будет прибывать столько же жидкости, сколько ее уйдет из резервуара N, и наоборот. В данном случае нет замкну­того контура, по которому происходит движение вещества, так как резервуары М и. N изолированы друг от друга.

Совершенно таким же представляется нам и ток электрический, если мы будем игнорировать процессы в диэлектрике, а все свое внимание сосредоточим только на проводниках. Но благодаря Фарадею и Максвеллу мы знаем теперь, что такая точка зре­ния была бы неправильна. Электрический ток может течь и через

диэлектрики, но только не непрерывно в одном направлении, ибо упругие реакции в диэлектрике в конце концов кладут предел той деформации электрического смещения, процесс возникновения или вообще изменения которой и составляют, по Максвеллу, ток в диэлектрике. Не трудно, однако, рассмотренную выше модель изменить так, чтобы она иллюстрировала все то, что нами говори­лось о замкнутости тока в цепи с конденсатором. Возьмем опять прежний цилиндр К. с поршнем Р, приводимым в попеременное движение при помощи соответствующего меха­низма. В данном случае пусть трубы T ₁ и T ₂ соединяют цилиндр, как показано на рис. 111, с двумя диаметрально противоположными сто­ронами одного общего резервуара, внутри ко­торого находится сплошная упругая перего­родка D, состоящая, например, из резиновой пластины и делящая весь объем резервуара на две части, М и N. Допустим далее, что у весь объем рассматриваемой системы, т. е. цилиндр, соединительные трубы и ка­меры М и N, сплошь заполнены жид­костью, скажем, водой. В отличие от предыдущего случая, камеры М и N не изолированы теперь одна от дру­гой. Действительно, всякое увеличение количества воды в камере М вызовет упругую деформацию перегородки D, которая будет изгибаться и при этом вытеснит соответствующее количество воды из камеры N. При каждом данном значении разности давлений в камерах М и N степень деформирования упругой перегородки D будет совершенно определен­ная и притом такая, что упругая реакция со стороны перегородки будет уравновешивать разность давлений с обеих ее сторон. Если эта разность давлений перестанет существовать, упруго деформирован­ная перегородка немедленно вернется в свое нормальное положение, ее вынужденное состояние прекратится. При переменном движении поршня, т. е. при возникновении в рассматриваемой системе пере­менной „вододвижущей силы", перегородка D будет периодически изгибаться то в ту, то в другую сторону, соответственно напра­влению тока жидкости и вообще материи в той замкнутой цепи, которую в настоящем случае представляет наша система. Таким образом, модель, изображенная на рисунке 111, схематически иллю­стрирует замыкание электрического тока через диэлектрик.

Дата добавления: 2014-11-29