Дифференциальные уравнения напряжения и тока в длинной линии

Дифференциальные уравнения длинной линии есть математическая формулировка на основании законов Кирхгофа зависимости напряжения и тока в линии для любого момента времени и любого сечения применительно к бесконечно малому отрезку длинной линии [4] (рис. 7.2).

Рис. 7.2

Напряжение и ток в любой точке длинной линии в общем слу­чае есть функции времени и пространственной координаты вдоль линии, определяемой положением точки наблюдения.

Рис. 7.3

Рассмотрим произвольный бесконечно малый элемент линии , удалённый от её начала на расстояние (рис. 7.3). На рисунке обозначены:

– индуктивность участка линии ;

– активное сопротивление (сопротивление потерь) участка ;

– проводимость утечки на участке (обусловлена несовершенством изоляции);

– емкость между проводами участка .

В пределе при имеем:

Эквивалентная схема всей линии конечной длины содержит бесконечное множество аналогичных звеньев, соединённых последовательно. Из рис. 7.3 на основании 2-го закона Кирхгофа имеем:

(7.1)

На основании 1-го закона Кирхгофа имеем:

(7.2)

где и – средние значения напряжения и тока на отрезке .

Разделив левую и правую части выражений (7.1) и (7.2) на , переходя к пределу при , получим:

При таком предельном переходе , , т. е. средние значения напряжения и тока стремятся к мгновенным значениям. В результате из (7.1) и (7.2) будем иметь:

(7.3)

Система уравнений (7.3) является дифференциальными уравнениями напряжения и тока в длинной линии, или телеграфными уравнениями. Эти уравнения полностью описывают процессы в длинной линии (как установившийся, так и переходный).

Дата добавления: 2014-11-28