Матричный способ решения систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений тремя способами.

Решить систему линейных уравнений тремя способами: матричным, по формулам Крамера и методом Гаусса.

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

матрицы – столбцы из свободных членов и неизвестных:

;

Тогда, заданную систему уравнений можно записать в матричном виде:

АX=В – это называется простейшее матричное уравнение.

Решим это матричное уравнение:

Пусть матрица А-невырожденная (т.е. D(А)≠0), тогда существует обратная матрица А^-1. Умножив на неё обе части матричного уравнения, получаем:

Т.к. и , получим:

Таким образом, чтобы решить матричное уравнение нужно:

1. Найти обратную матрицу А^-1

2. Найти произведение обратной матрицы А^-1 на матрицу – столбец свободных членов т.е.

3. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Решим заданную систему линейных уравнений:

1. Находим обратную матрицу А^-1:

Найдем определитель матрицы А:

Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:

; ;

; ;

; ;

Запишем матрицу:

Транспонируем её:

Запишем обратную матрицу, учитывая, что

2. Умножим матрицу А^-1 на матрицу В:

3. Т.к. , то по определению равных матриц получим: x=1; y=2; z=3

Дата добавления: 2014-11-29