Напряжения в наклонных сечениях растянутых стержней

Условием прочности при растяжении (сжатии) будет выражение

σ = N/ A ≤ σ_adm. (5.15)

С его помощью можно решить следующие задачи:

– Проверить прочность нагруженного стержня, т.е. по заданной нагрузке и размерам поперечного сечения определить действительные напряжения и сравнить их с допускаемыми (5.15).

– Определить размеры поперечного сечения стержня по известной нагрузке и допускаемому напряжению материала

A ≥ N/ σ_adm. (5.16)

– Определить допускаемую продольную силу по заданным размерам А поперечного сечения стержня и допускаемому напряжению материала стержня

N ≤ A·σ_adm. (5.17)

Далее, зная связь между продольной силой N и внешними силами F, можно найти предельную внешнюю нагрузку F_u.

– Выбрать материал нагруженного стержня по заданным размерам А поперечного сечения стержня и нагрузке, приняв или рассчитав величину коэффициента запаса прочности n:

σ_0,2 = n· σ_adm ≥ (n N)/ A. (5.18)

Стержни, испытывающие деформацию сжатия, кроме расчета на прочность необходимо рассчитывать и на устойчивость (продольный изгиб), чтобы не произошло выпучивания и потери устойчивости сжатого стержня.

Отметим, что при действии на стержень системы внешних сил продольная сила N в поперечном сечении равна алгебраической сумме внешних продольных сил, действующих по одну сторону от сечения.

Для оценки прочности деталей рассмотрим напряжения, действующие по любому сечению растянутого (сжатого) стержня. Нормальные напряжения σ в поперечном сечении считаем известными (5.3). Возьмем сечение, наклоненное под углом α к поперечному сечению (рис. 5.11, а). Площадь наклонного сечения равна

A_α = A/ cos α. (5.19)

За положительное направление отсчетов угла α примем направление, обратное движению часовой стрелки. Принятое в механике за положительное направление вращения и поворотов против часовой стрелки связано, очевидно, с наблюдаемым в северном полушарии направлением вращения земного шара.

в

а

б

Рис. 5.11

Используя метод сечений, определим полное напряжение p_α по наклонной площадке (рис. 5.11, б):

p_α = N/ A_α = N cos α/ A = σ cos α. (5.20)

Разложим полное напряжение p_α на нормальную и касательную составляющие (рис. 5.11, в)

σ_α = p_α cos α = σ cos² α; (5.21)

τ_α = p_α sin α = (σ/2) sin 2α = 0,5 σ sin 2α. (5.22)

Исследуем выражения (5.21) и (5.22) по определению нормальных и касательных напряжений в зависимости от угла наклона площадки. При α = 0, т.е. в поперечных сечениях нормальные напряжения максимальны, касательные равны нулю. При α = 90°, т.е. в продольных сечениях, нет ни нормальных, ни касательных напряжений. Это значит, что продольные слои растянутого стержня не имеют друг с другом силового взаимодействия по боковым поверхностям и растяжение стержня можно представить как растяжение пучка не связанных друг с другом параллельных нитей.

Максимальное касательное напряжение будет в сечении, расположенном под углом 45° к поперечному и равно оно половине напряжения в поперечном сечении:

τ_max = τ_α=45° = 0,5 σ. (5.23)

Оценивая напряжения в различных сечениях стержня при растяжении или сжатии, видим, что стержень может разрушиться или по поперечному сечению в результате действия максимальных нормальных напряжений, или от действия максимальных касательных напряжений по сечению, наклоненному к поперечному под углом 45°.

Дата добавления: 2014-11-29