Пример анализа стационарного режима работы системы массового обслуживания

Анализ многоканальной замкнутой системы с ожиданием.

Рис.4.6. Граф состояний системы.

n – число требований поступивших в систему; N – число каналов обслуживания; m –число требований нуждающихся в обслуживании; N£n£m.

Возможно 2 случая:

1) Число требований n, поступивших в систему меньше числа каналов обслуживания,

т.е они все находятся на обслуживании. 0£n£N

2) Число требований n, поступивших в систему больше или равно числу каналов

обслуживания n³N из них N обслуживаются, а z требований ожидают в очереди

(z=1,2,…,m-N).

Вероятность того, что в системе находится n требований:

для 0£n£N (4.27)

для N£n£m (4.28)

Двухпроцессорная информационно-управляющая система управляет работой шести технологических установок. Каждая установка требует управляющего воздействия в среднем каждые30 секунд. Процесс решения задачи управления и выдачи управляющего воздействия занимает 10 с. Определить среднюю загрузку процессоров т. е. среднее число работающих процессоров, абсолютную пропускную способность такой системы и среднюю производительность технологического комплекса из шести установок, если производительность одной установки составляет 120 т/час, а при неудовлетворении системой заявки на решение задачи управления установка переходит на холостой режим работы и продукцию не выпускает.

Функциональная схема системы имеет вид:

Рис. 4.7. Функциональная схема системы

Обозначения на рис. 4.7.

П1,П2 – процессоры; ИУС - информационно-управляющая система;1¸6 – технологические установки; общая шина;

Граф состояний системы имеет вид:

Рис. 4.8 Граф системы.

Обозначения:S₀¸S₆ – состояния системы; P₀¸P₆ – вероятности состояний системы; – интенсивность входного потока требований, создаваемого одной установкой, ; m - интенсивность выходного потока требований, создаваемого одним процессором^*, .

Таблица состояний системы 4.1 строится по графу рис. 4.8.

Таблица 4.1

S	S0	S1	S2	S3	S4	S5	S6
P	P0	P1	P2	P3	P4	P5	P6
Nрп
Nру
Nну

Обозначения в таблице 4.1:

Nрп – число работающих процессоров;

Nру – число работающих технологических установок;

Nну – число неработающих технологических установок;

Система уравнений вероятностей состояний, составленная по графу рис. 4.8. будет иметь вид:

(4.29)

P₀+P₁+P₂+P₃+P₄+P₅+P₆=1

Последнее уравнение системы (4.29) называют нормализующим. Оно является обязательным при исследовании стационарного режима работы системы массового обслуживания.

Решим систему уравнений (4.29) методом подстановки:

Откуда: ; Р₁=0,306; Р₂=0,255; Р₃=0,17; Р₄=0,085; Р₅=0,02; Р6=0,00459

Число работающих процессоров является дискретной случайной величиной, поэтому среднее число работающих процессоров рассчитывается по формуле математического ожидания:

M(Nрп)=1Р₁+2Р₂+2Р₃+2Р₄+2Р₅+2Р₆=1,388

Абсолютная пропускная способность системы:

Q=M(N_рп)m=1,388·6=8,328

Средняя производительность технологического комплекса из шести установок:

Q=qM(Nру),

где: q= - производительность одной технологической установки; M(Nру) – математическое ожидание числа работающих установок.

M(Nру)= 6Р₀+5Р₁+4Р₂+3Р₃+2Р₄+1Р₅=6·0,153+5·0,306+4·0,255+3·0,17+2·0,085+1·0,02=

=4,168 (установок)

Q=120·4,168=500,16(т/час)

*Примечание. На параметр m в данном случае влияют: быстродействие процессоров, объем оперативной памяти, функционально-алгоритмическая структура системы управления и т.д.На параметр l влияют: типы и характеристики технологического оборудования, режимы работы оборудования, характеристики возмущающих воздействий.

При системном анализе выбирают такое соотношение между этими параметрами, чтобы производительность комплекса была максимальной.

Дата добавления: 2014-11-29