Системный анализ стохастических сетей

Информационно-управляющие и производственно-экономические системы удобно представлять в виде стохастических сетей. При этом части системы обычно формализуются в виде подсистем массового обслуживания, а взаимосвязь между ними в общем процессе функционирования отображается в виде направленного графа.

Вершины графа- подсистемы массового обслуживания. Дуги графа- пути передачи информационных потоков между подсистемами массового обслуживания, составляющих сеть.

Для задания сети массового обслуживания необходимо определить:

1) Источник требований, поступающих в сеть, имеющих интенсивность l₀;

2) Список обслуживающих подсистем S_i (i =1, 2, …, М), входящих в сеть;

3) Вектор состава подсистем m =(m₁, m₂, …m_i, …, m_m), где m_i –число приборов, входящих в i-ю подсистему;

4) Вектор интенсивностей обслуживания m = (m₁, m₂, …, m_i, …,m_m), где m_{i –} интенсивность обслуживания требования одним прибором, входящим в состав i-й подсистемы;

5) Матрицу передач (i=1, 2, …, М+1; j=1, 2, …, М+1), отражающую структуру передач информационных потоков.

При построении матрицы передач источник требований (внешняя среда) рассматривается как нулевая подсистема S₀. Элемент матрицы r_ij характеризует вероятность выбора направления для требования в j-ю подсистему при окончании обслуживания в i-й подсистеме. При этом имеет место, следующее соотношение:

i= 0, 1, 2, …М (4.47)

Элемент r₀₀ = 0, так как требования не остаются в источнике, а всегда поступают в систему.

Аналитическое исследование возможно для стохастических сетей со следующими допущениями:

1) сеть формируют подсистемы с показательным законом (экспоненциальным) длительности обслуживания для каждого из приборов, входящих в подсистему;

2) сеть нагружена пуассоновским потоком однородных требований;

3) дисциплине обслуживания: «первым пришёл – первым обслужен»;

4) сеть является линейной, т.е. вероятность поступления требования в подсистему S_J за интервал времени (t, t+Dt) является линейной комбинацией вероятностей выхода требований из различных подсистем сети.

Для линейных сетей справедлива система управлений:

l_j = , (4.48)

где j= 0, 1, 2, …, М; l_i – суммарная интенсивность на выходе i-й подсистемы; l_j – суммарная интенсивность на выходе j-й подсистемы; r_ij- вероятность поступления требований из i-й подсистемы по окончанию обслуживания в

j-ю подсистему.

То есть для установившегося режима в разомкнутой сети интенсивность среднего суммарного потока на входе любой подсистемы равна средней суммарной интенсивности выходного потока из данной подсистемы.

В разомкнутых сетях интенсивность входного потока требований l₀¹ 0, т.е имеются постоянные взаимодействия с внешней средой, что характерно для задач системного анализа.

Для иллюстрации применения системы управлений (4.48) рассмотрим пример. Пусть информационно-управляющая система задана разомкнутой стохастической сетью рис. 4.15.

Рис. 4.15. Представление информационно-управляющей системы в виде сети.

Матрица передач R выглядит для данной сети следующим образом.

R =

Интенсивность источника l₀ = 5с^-2. Тогда в соответствии с (4.48) имеем:

l₀ = r₁₀ l₁

l₁ = l₀ +l₂ +l₃

l₂ = l₁ r₁₂

l₃ = l₁ r₁₃

Коэффициенты передачи от источника требований к j-му узлу:

где j =1, 2, …, М.

Для нашего примера:

При определении характеристик сети используется понятие состояния сети. Под состоянием сети понимают вектор n = (n₁, n₂, …, n_m), в соответствии с которым, в первой подсистеме содержится n₁ требований, во второй подсистеме n₂ требований, в m-ой подсистеме n_m-требований. Поэтому наиболее полной характеристикой сети является вероятность P (n₁, n₂, …n_m).

Наиболее важным аналитическим инструментом для анализа характеристик сетей является теорема Джексона, согласно которой разомкнутая цепь общего вида является совокупностью независимых систем с очередью:

P(n_1, n₂, …, n_j,…, n_m) =

P_J(n_j) =P_j(0) (4.49)

>

Интерпретация вышеуказанных соотношений для разомкнутой сети, когда все узлы сети являются одноканальными системами массового обслуживания, выглядят следующим образом:

P_j(n_j) = P_j(0)r где P_J(0) = 1-r_J. (4.50)

В соответствии с рассмотренным принципом декомпозиции задачи анализа сети в целом на задачи анализа отдельных подсистем имеем:

1) Среднее число требований, находящихся в сети:

n = n_j

2) Среднее число требований, ожидающих обслуживания в сети:

e = e_j

3) Среднее время пребывания требования в сети:

4) Среднее время ожидания требования в сети:

, определяет среднее число прохождений требования через подсистему S_J, соответствующее одному прохождению через источник S_0. Параметры, характеризующие отдельные подсистемы n_j, e_j, t_j, t_ож.j определяются путём составления и решения уравнений вероятностей состояний подсистем в стационарном режиме работы.

Дата добавления: 2014-11-29