Методы определения устойчивости

Для того, чтобы система была устойчивой, должны выполняться определенные условия, которые называются условиями устойчивости. Все условия устойчивости разделяются на необходимые и достаточные.

Н е о б х о д и м о е условие устойчивости.Если это условие соблюдено система может быть как устойчивой, так и неустойчивой если же условие не соблюдается, то система наверняка неустойчива, и продолжение исследований на устойчивость теряет смысл. Хотя это условие не дает ответа на вопрос “устойчива система или нет”, оно позволяет на начальном этапе работ исключить заведомо непригодные варианты. Поэтому при исследовании устойчивости сначала проверяют соблюдение необходимого условия. Необходимым условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов ее характеристического уравнения. При этом равенство нулю хотя бы одного коэффициента также является нарушением необходимого условия.

Например, для системы с характеристическим уравнением

необходимое условие удовлетворяется, и исследование ее на устойчивость должно быть продолжено. А вот системы с характеристическими уравнениями

,

заведомо неустойчивы, так как в первой системе один коэффициент равен нулю, а во второй имеется отрицательный коэффициент.

Д о с т а т о ч н о е условие устойчивости.Это условие дает однозначный ответ на вопрос об устойчивости системы, если известны значения всех корней.

Достаточным условием устойчивости системы является отрицательное значение вещественной части всех корней ее характеристического уравнения.

Но, к сожалению, вычисление корней уравнений высоких степеней настолько сложно, что для исследования устойчивости предпочитают использовать специальные методы косвенных оценок. Эти методы позволяют оценить устойчивость системы по коэффициентам ее характеристического уравнения без вычисления корней. Такие оценки носят название “критерии устойчивости”.

Дата добавления: 2014-11-29