Постановка задачи оптимального управления

Математическое описание объектов в задачах оптимального управления

Важнейшим понятием в теории оптимального управления является понятие объекта управления (ОУ). В общем случае ОУ может быть многомерным (рис. 1). Он имеет входных (управляющих) воздействий , возмущающих воздействий , выходных (управляемых) процессов .

Наличие возмущающих воздействий придает ОУ стохастический характер; если возмущающие воздействия отсутствуют, то ОУ является детерминированным. В данной работе рассматриваются детерминированные ОУ. Многомерность ОУ определяется наличием нескольких выходных процессов. Если на выходе ОУ имеется один выходной процесс, то ОУ является одномерным с несколькими входами () или с одним входом ().

Предполагается, что на предварительном этапе получена математическая модель ОУ в виде системы из дифференциальных уравнений, каждое из которых отражает зависимость выходного сигнала от всех управляющих воздействий:

.

Теория оптимального управления предъявляет определенные требования к математическому описанию ОУ. Исходные дифференциальные уравнения необходимо преобразовать путем введения новых переменных в систему из дифференциальных уравнений первого порядка , записанных в нормальной форме Коши:

Здесь - новые переменные (переменные состояния).

Рассмотрим эту процедуру на примере задачи о рекламной деятельности фирмы, для которой исходное уравнение, связывающее объем продаж с затратами на рекламу, имеет вид:

(1)

В этом примере ОУ (торговую фирму) можно классифицировать как одномерный объект с одним входом. Для работы с этим уравнением необходимо знать управляющее воздействие и начальное условие .

Преобразуем исходное уравнение к виду, приемлемому для теории оптимального управления. С помощью замены переменных приведем его к виду

или

(2)

Продифференцируем левую и правую части этого выражения по t, учитывая, что второе слагаемое состоит из двух сомножителей и :

Дифференцирование интеграла по верхнему пределу дает подынтегральную функцию в верхнем пределе, поэтому получим

(3)

Из соотношения (2) выразим второе слагаемое

и подставим его в (3). В итоге придем к следующему дифференциальному уравнению второго порядка:

(4)

Для работы с этим уравнением необходимо знать вид управляющего воздействия и начальные условия и . Заметим, что в исходной постановке задачи требовалось только начальное значение . Необходимое теперь значение может быть найдено из исходного уравнения при :

.

Если рекламная кампания на предыдущем этапе не проводилась, т.е. для , то начальные условия и могут быть только нулевыми. Дифференциальное уравнение (4) имеет более простую структуру по сравнению с исходным уравнением (1), однако в такой форме оно по-прежнему неприемлемо для теории оптимального управления. Продолжим преобразования и введем в рассмотрение переменные состояния , с помощью которых уравнение (4) представим в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в нормальной форме Коши:

(5)

Это та форма математического описания задачи о рекламной деятельности, которая позволит использовать для ее решения методы оптимального управления.

Систему уравнений (5) можно записать в векторно-матричной форме:

.

В данном примере введение переменных состояния сопровождается простой процедурой, так как правая часть уравнения (4) не содержит производных от функции . Наличие производных усложнит переход к переменным состояния, сделает его неоднозначным; подробные рекомендации содержатся, например, в [2,11].

В задаче оптимального управления рассматривается ОУ (экономическая система), на вход которого подается управляющее воздействие , на выходе наблюдается выходной сигнал .

Задача оптимального управления сопровождается следующими аспектами.

а) Состояние ОУ характеризуется вектором состояния

.

Здесь - переменные состояния, - символ транспонирования. Выходной сигнал ОУ связан с переменными состояния соотношением

.

б) Поведение ОУ описывается векторным дифференциальным уравнением

,

которое можно записать в виде системы дифференциальных уравнений

,

где функции являются компонентами вектор-функции .

в) Обозначим через и начальный момент процедуры управления и начальное состояние ОУ; эти параметры должны быть заданы в каждой задаче оптимального управления. Обозначим через конечный момент процедуры управления. Он может быть задан (задача с фиксированным временем) или не задан (задача с нефиксированным временем). Обозначим через конечное состояние ОУ; оно может быть задано (задача с закрепленным правым концом траектории) или не задано (задача со свободным правым концом траектории).

Теперь можно объяснить цель управления, которая состоит в переводе ОУ из начального состояния в конечное состояние .

г) Цель управления может быть достигнута с помощью различных управляющих воздействий , эффективность которых характеризуется показателем качества

,

где функция отражает требования к поведению ОУ при переходе из начального состояния в конечное. Данный показатель качества является функционалом, так как от вида функции зависит числовой показатель . Эта зависимость проявляется как непосредственным образом, так и через вектор состояния , который также зависит от функции .

Оптимальным назовем управляющее воздействие, удовлетворяющее критерию оптимальности

. (6)

Задачу оптимального управления с критерием оптимальности (6) принято называть задачей Лагранжа.

В практике оптимального управления возникает необходимость в более сложной форме критерия оптимальности:

. (7)

Здесь первая составляющая по-прежнему отражает требования к поведению ОУ на всем интервале управления; вторая составляющая, которую принято называть терминальной, отражает требования к конечному состоянию ОУ. Задачу оптимального управления с критерием оптимальности (7) называют задачей Больца.

Если исследователь предъявляет требования только к конечному состоянию ОУ, то он должен руководствоваться критерием оптимальности

, (8)

который относит задачу оптимального управления к задаче Майера.

д) Для задач оптимального управления характерно наличие ограничений, накладываемых на управляющее воздействие и вектор состояния:

.

Область называют областью допустимых состояний ОУ.

Задача оптимального управления заключается в нахождении такого допустимого управляющего воздействия , при котором ОУ переходит из начального состояния в конечное состояние , оставаясь все время в области допустимых состояний , а показатель качества принимает минимальное (максимальное) значение.

Задачу оптимального управления, сформулированную в данном разделе, принято называть непрерывной задачей оптимального управления. Теория оптимального управления разрабатывалась, главным образом, для решения непрерывных задач. Это было обусловлено преобладанием технических объектов, для которых требовалось найти непрерывное во времени оптимальное управление. В экономических системах, особенно в системах микроэкономики, большое распространение нашли дискретные объекты управления, для которых задача оптимального управления имеет самостоятельную формулировку.

Дата добавления: 2014-11-29