Два типа оптимизационных задач в экономике

Задача оптимального управления

Введение

Данное учебное пособие написано на основе лекций, прочитанных автором по дисциплинам «Оптимальное управление в экономических системах», «Теория оптимального управления» для студентов специальности «Математические методы в экономике» и направления «Прикладная математика и информатика». Пособие ориентировано на применение методов оптимального управления к экономическим задачам.

Теория оптимального управления – это раздел математики, выросший из вариационного исчисления и ориентированный на задачи оптимизации функционалов при наличии особенностей и ограничений, неподвластных вариационным методам. Методы оптимального управления применимы к объектам любой природы, поведение которых описывается дифференциальными или разностными уравнениями.

Опережающими темпами шло применение и развитие теории в области оптимальных автоматических систем. Второй важной сферой применения методов оптимального управления стали экономические системы. Дискретные задачи оптимального управления с самого начала были в основном представлены работами экономической направленности. Первые попытки применения оптимальных методов к непрерывным экономическим задачам были связаны с использованием принципа максимума для анализа оптимального экономического роста в модели Р. Солоу.

В последнее десятилетие необходимость усиления математической подготовки экономистов стала очевидной, и методы оптимального управления были введены в учебные планы многих вузов, опубликованы учебные пособия, например [6-8,10,12], в которых теория оптимального управления излагается применительно к экономическим системам.

Настоящее пособие примыкает к этим работам. Оно написано для студентов, которые готовятся для математического и информационного обеспечения экономической деятельности. Автор поставил перед собой задачу с использованием вузовского математического аппарата сообщить студенту то, что ему потребуется при проектировании оптимальных экономических систем, включая постановку проблемы, ее формализацию, математические методы решения. С этой целью в пособии рассматривается большое число примеров. Примеры должны показать как общность, так и специфические особенности задач, возникающих в разнообразных экономических ситуациях.

Оптимизационные задачи в экономике подразделяются на два типа: задачи конечномерной оптимизации и задачи оптимального управления. Объектами исследований в задачах первого типа являются целевые функции, выражающие, например, прибыль от реализации изделий, затраты на производство и хранение продукции, стоимость основных фондов и т.д. Аргументами целевых функций выступают технико-экономические показатели: количество изделий каждого вида, производственная программа, объем капиталовложений. Необходимо найти такой конечный набор технико-экономических показателей, при котором достигается экстремальное значение целевой функции.

В задачах оптимального управления объектами исследований являются функционалы. Функционал – это числовая функция, определенная на некотором множестве функций. Другими словами, функционал осуществляет отображение множества функций в множество чисел. В задачах оптимального управления необходимо найти такую функцию (управляющее воздействие), которая обеспечивает экстремальное значение функционала. Искомую функцию можно отождествить с бесконечным множеством точек, поэтому задачи оптимального управления называют еще задачами бесконечномерной оптимизации.

Примером задачи конечномерной оптимизации является задача о загрузке транспортного средства. Имеется транспортное средство(ТС) грузоподъемностью и емкостью , которое требуется загрузить предметами типов. Один предмет каждого типа характеризуется весом , объемом и стоимостью Необходимо найти такое количество предметов каждого типа, загружаемых в ТС, чтобы общая стоимость груза оказалась максимальной.

Обозначим через количество предметов каждого типа, загружаемых в ТС. Запишем целевую функцию, под которой будем понимать суммарную стоимость груза:

.

Дополним целевую функцию ограничениями по грузоподъемности и емкости ТС:

.

Данная задача является задачей целочисленного линейного программирования, одной из разновидностей задач конечномерной оптимизации.

В качестве примера задачи оптимального управления рассмотрим задачу о рекламной деятельности фирмы [4]. Фирма занимается продажей некоторого товара и с целью увеличения объема продаж осуществляет рекламную кампанию. Зависимость объема продаж от затрат на рекламу описывается уравнением

Здесь - объем продаж и затраты на рекламу в денежных единицах, - положительные коэффициенты, характеризующие потребительские свойства товара. В соответствии с этим уравнением скорость изменения объема продаж уменьшается пропорционально объему продаж и увеличивается пропорционально суммарным рекламным затратам с учетом эффекта забывания рекламы.

Рекламную политику фирмы на интервале времени [0, T ] можно связать с критерием оптимальности

который представляет собой суммарный на заданном интервале времени объем продаж с учетом затрат на рекламу; u _max- максимально возможные затраты на рекламу. Данный критерий оптимальности является функционалом, так как от функции , описывающей распределение средств на рекламу на интервале времени [0, T ], зависит числовой показатель - суммарный объем продаж .

Дата добавления: 2014-11-29