Метод динамического программирования

.

Дискретный вариант задачи оптимального управления

Рассматривается объект управления, на вход которого в дискретные моменты времени поступают управляющие воздействия . Выходной сигнал объекта фиксируется в те же моменты времени.

u(t_i)=u_i y(t_i) = y_i

Задача оптимального управления сопровождается следующими аспектами.

а) Состояние объекта управления характеризуется вектором состояния:

Здесь переменные состояния связаны со значениями выходного сигнала и управляющего воздействия в настоящий и предыдущие моменты времени.

б) Поведение объекта описывается разностным уравнением:

в) Заданы начальный момент процедуры управления , начальное состояние объекта , конечный момент процедуры управления . Конечное состояние объекта может быть как задано, так и не задано.

t ₀ t ₁ t _{2 …} t_{N -1} t_N = T t

Х ₀ Х ₁ Х ₂ … Х_{N -1} Х_N = Х (T)

u ₀ u ₁ u ₂ … u_{N -1}

Рис. 2

Процедура дискретного управления выглядит следующим образом (рис. 2). ОУ в начальный момент времени находится в состоянии .Под влияниемуправляющего воздействия ОУ переходит к моменту времени всостояние . В момент времени на вход объекта подается управляющее воздействие , переводящее объект в состояние к моменту времени и т.д. Последнее управляющее воздействие поступает на вход ОУ в момент времени . ОУ переходит в конечное состояние ; процедура управления закончена.

г) Перевод объекта из начального состояния в конечное осуществляется за шагов, на каждом из которых эффективность управления определяется величиной . Общую эффективность на всем интервале управления назовем показателем качества, с которым свяжем критерий оптимальности

д) Для дискретной задачи характерно наличие таких же ограничений на управляющее воздействие и вектор состояния, что и в непрерывной задаче.

Дискретная задача оптимального управления заключается в нахождении таких допустимых управляющих воздействий , при которых ОУ переходит из начального состояния в конечное состояние , оставаясь все время в области допустимых состояний , а показатель качества принимает минимальное (максимальное) значение.

В отличие от непрерывной задачи оптимального управления, где показатель качества является функционалом, в дискретной задаче показатель качества является функцией, зависящей от переменных (управляющих воздействий) . Поэтому для решения дискретной задачи можно в принципе использовать методы конечномерной оптимизации. Однако большое количество переменных, присущих задачам оптимального управления, наличие ограничений и многоэкстремальный характер оптимизируемой функции делают методы конечномерной оптимизации малоэффективными.

В качестве примера дискретной задачи оптимального управления рассмотрим задачу о загрузке транспортного средства. В разделе 1.1 эта задача была представлена в терминах конечномерной оптимизации. Сформулируем ее в терминах дискретной задачи оптимального управления. Прежде всего, процесс загрузки представим как многошаговый процесс. В начальный момент (удобнее обозначить его через ) в ТС загружаются предметы первого типа в количестве единиц; в момент времени загружаются предметы второго типа в количестве единиц и т.д. Введем в рассмотрение ОУ (рис.3).

ОУ имеет один вход, на который в дискретные моменты времени поступают управляющие воздействия . Под управляющими воздействиями будем понимать количества предметов каждого типа, загружаемых в ТС. На выходе ОУ имеются два управляемых процесса. Через обозначим грузоподъемность ТС в моменты времени , через - емкость ТС в те же моменты времени.

Рассмотрим процедуру управления на временной оси.

y₁(t₁)=P₀ y₂(t₁)=V₀ u(t₁)

В момент времени принимается решение о загрузке ТС предметами первого типа в количестве единиц. Грузоподъемность и емкость ТС в этот момент времени соответствуют номинальным значениям и . К моменту времени состояние ТС будет характеризоваться значениями

.

В момент времени принимается решение о загрузке ТС предметами второго типа в количестве единиц. К моменту времени состояние ТС будет характеризоваться значениями

.

Отсюда следует система разностных уравнений, описывающих поведение ОУ:

Так как разностные уравнения имеют первый порядок, то нет необходимости вводить в рассмотрение дополнительные переменные состояния. Состояние ОУ полностью характеризуется двумя естественными переменными состояния: грузоподъемностью и емкостью в каждый дискретный момент времени. Запишем уравнения ОУ в векторной форме

Введем в рассмотрение показатель качества, под которым будем понимать суммарную стоимость груза, и свяжем с ним критерий оптимальности

.

Задача сопровождается ограничениями на переменные состояния и управляющее воздействие:

Ограничения на вытекают из фактической грузоподъемности и емкости ТС в моменты времени , .

Дата добавления: 2014-11-29